在連續時間內完成市場
在具有有限數量狀態的標準離散時間經濟中， $ n $ , 一個完全的市場經濟只是一個有 $ n $ 獨立資產（想想 Ljunqvist 和 Sargent 第 8 章）。這是因為 $ n $ 獨立資產足以跨越明天的狀態集。
上週我與一位教授進行了一次討論，他說在考慮資產定價時，連續時間的便利之一是，在連續時間經濟中，只需使用無風險債券和風險資產即可獲得完整的市場（獨立）對於經濟中的每個布朗運動。
他在我們交談時解釋了它，所以我想我大部分都理解它，但想知道是否有人會介意寫下細節？
這週我可能會花一兩天時間研究它（取決於微積分的一些性質），所以如果沒有其他人回答這個問題，那麼希望我能提供一個令人滿意的答案。
我是最後一個應該回答此類連續時間問題的人，但如果沒有其他人，我想我會試一試。（非常歡迎對我依稀記得的連續時間財務進行任何更正。）
我的印像一直是，這最好解釋為鞅表示定理的結果。不過，首先，我將鬆散地建立一些符號。讓機率空間由 $ n $ 獨立維納過程 $ (Z_t^1,\ldots,Z_t^n) $ . 讓有 $ n+1 $ 資產，其中的價值 $ i $ 資產在 $ t $ 是（誰）給的 $ S_t^i $ . 假設該資產 $ i=0 $ 是無風險債券 $ dS_t^0=r_tS_t^0dt $ , 而資產 $ i=1,\ldots,n $ 每個都有風險，並由相應的驅動 $ Z_t^i $ :
$$ dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i $$ 假設有一個嚴格正的 SDF 過程 $ m_t $ 正規化為 $ m_0=1 $ , 這樣 $ m_tS_t^i $ 是每個鞅 $ i $ （基本上是SDF的定義）和哪裡 $$ dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t $$ （我用 $ \cdot $ 作為內積，這將很方便。） 最後，讓 $ n+1 $ 維向量 $ \theta_t $ 成為我們的投資組合 $ t $ , 這樣淨資產 $ A_t $ 是（誰）給的 $ A_t=\theta_t\cdot S_t $ . 假使，假設 $ A_0 $ 是固定的，而且我們還有
$$ dA_t=\theta_t\cdot dS_t $$ 現在我將陳述目標，它抓住了完整市場的本質。假設世界在某個時間結束 $ T $ ，並且我們想要淨資產 $ A_T $ 等於某個隨機的 $ Y $ ，這可能取決於直到時間的完整歷史 $ T $ . 假設 $ A_0=E_0[m_TY] $ ，因此在一個擁有完整市場的世界中，我們可以（在 $ t=0 $ ) 使用我們最初的財富 $ A_0 $ 購買時間 $ t=T $ 支出 $ Y $ . 在沒有這些直接的完整市場的情況下，問題是是否仍然有一些投資組合策略 $ \theta_t $ 這將使我們能夠獲得 $ A_T=Y $ 在世界所有國家。在這種情況下，答案是肯定的。 一、可以計算 $ d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t) $ . 因此 $ m_tS_t $ 作為鞅意味著 $ m_tA_t $ 是鞅。因此我們有 $ A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY $ 當且當
$$ m_tA_t=E_t[m_TY] $$ 對全部 $ t\in[0,T] $ . 請注意，這適用於 $ t=0 $ 通過假設；因此，要獲得相等性，只需要證明兩邊的增量總是相等的。 現在鞅表示定理出現了。因為 $ E_t[m_TY] $ 是鞅，我們可以寫
$$ E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s $$ 對於一些可預測的過程 $ \phi_s $ . 所以我們需要能夠展示 $ d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t $ . 寫作 $$ d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i $$ 我們看到我們需要 $ m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i $ 對於每個風險資產 $ i=1,\ldots,n $ ，我們可以將其反轉以提供所需的投資組合選擇 $ \theta_t^i $ : $$ \theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i} $$ 無風險資產組合選擇 $ \theta_t^0 $ 然後可以從 $ A_t=\theta_t\cdot S_t $ . 這裡的直覺很簡單：我們需要總是有 $ A_t $ 調整以保持平等 $ m_tA_t=E_t[m_TY] $ , 但是右邊的期望和 SDF $ m_t $ 左側正在響應駕駛過程而移動 $ dZ_t^i $ . 因此我們需要選擇一個投資組合 $ \theta_t $ 這樣 $ dA_t $ 精確地抵消了這些運動，等式繼續成立。只要在本地，我們總是可以做到這一點，我們的資產涵蓋所有風險 $ dZ_t^i $ - 這可能更普遍地發生，即使對於 $ n $ 相關資產，只要它們的增量是局部線性獨立的。（這裡的案例 $ n $ 每個由獨立布朗運動驅動的風險資產都是特殊的。）