勞動增強技術進步對一般生產函式替代彈性的推導
我正在關注並試圖完全理解本托利拉和聖保羅 (2003)的著名而有趣的作品。他們試圖用勞動力份額之間的關係來解釋要素份額的變動（ $ LS $ ) 和資本產出比 ( $ k $ ）。盡可能概括地說，它們從具有勞動增強技術進步和規模報酬不變的一般生產函式開始：
$$ Y_{i} = F(K_{i},B_{i}L_{i})=K_{i}f(l_{i}), $$
在哪裡 $ l_{i}=\frac{B_{i}L_{i}}{K_{i}}. $ 並表明在通常的微觀經濟均衡假設下（即勞動支付其邊際產品），存在一個獨特的函式 $ g(\cdot) $ 這樣：
$$ S_{Li} = g(k_{i}). $$
在哪裡 $ S_{Li}=\frac{w_iL_i}{p_iY_i} $ 勞動力在行業收入中的份額，與 $ w_i $ 表示工資， $ p_i $ 產品的價格和 $ k_i=\frac{K_i}{Y_i} $ 是資本產出比。
然後，在論文的第 6 頁，他們採用了上述生產函式替代彈性的標准定義，即 $ \sigma_{i}=\frac{d(K_i/L_i)}{d(r/w)}\cdot \frac{r/w}{K_i/L_i} $ 獲得以下結果：
$$ \sigma_{i}=\frac{f’(l_{i})}{l_{i}f’’(l_{i})}\left [1-\frac{l_{i}f’(l_{i})}{f(l_{i})} \right ] $$
我正在嘗試進行所有推導，但我找不到以相同結果推導最後一個公式的方法。有沒有人可以幫助我並告訴我步驟？
你有，在均衡中，每個因素都得到了它的邊際產品，所以 $$ \tag1\frac{w_i}{p_i}=B_if’(l_i) $$和$$ \tag2\frac{r_i}{p_i}=f(l_i)-K_if’(l_i)\frac{B_iL_i}{K_i^2}=f(l_i)-l_if’(l_i) $$所以將 (2) 除以 (1) 我們有：
$$ \tag3\frac{r_i}{w_i}=\frac{f(l_i)-l_if’(l_i)}{B_if’(l_i)}. $$
取導數 $ r_i/w_i $ 關於 $ l_i $ : $$ \tag4\frac{d(r_i/w_i)}{d(l_i)}=\frac{(f’(l_i)-(f’(l_i)+l_if’’(l_i)))B_if’(l_i)-B_if’’(l_i)(f(l_i)-l_if’(l_i))}{(B_if’(l_i))^2}=-\frac{f’’(l_i)f(l_i)}{B_i(f’(l_i))^2} $$
注意 $ l_i=\frac{B_i}{(K_i/L_i)} $ 所以 $$ \tag5\frac{d(l_i)}{d(K_i/L_i)}=-\frac{B_i}{(K_i/L_i)^2}=\frac{l_i}{(K_i/L_i)}. $$使用鍊式法則並代入 (4) 和 (5) 我們有： $$ \frac{d(r_i/w_i)}{d(K_i/L_i)}=\frac{d(r_i/w_i)}{d(l_i)}\frac{d(l_i)}{d(K_i/L_i)}=\frac{l_if’’(l_i)f(l_i)}{(K_i/L_i)B_i(f’(l_i))^2} $$通過反函式定理，我們得到： $$ \tag 6\frac{d(K_i/L_i)}{d(r_i/w_i)}=\frac{(K_i/L_i)B_i(f’(l_i))^2}{l_if’’(l_i)f(l_i)} $$
最後乘以 (3) 和 (6) 並除以 $ (K_i/L_i) $ 我們得出結論
$$ \sigma_i=\frac{d(K_i/L_i)}{d(r_i/w_i)}\frac{r_i/w_i}{K_i/L_i}=\frac{(K_i/L_i)B_i(f’(l_i))^2}{l_if’’(l_i)f(l_i)}\cdot\frac{f(l_i)-l_if’(l_i)}{(K_i/L_i)B_if’(l_i)}=\frac{f’(l_i)(f(l_i)-l_if’(l_i))}{l_if’’(l_i)f(l_i)}=\frac{f(l_i)}{l_if’’(l_i)}\left[1-\frac{l_if’(l_i)}{f(l_i)}\right] $$
如預期的。 $ Q.E.D. $