推導出穩定狀態下的人口結構
我正在閱讀一篇論文，其中描述了他們模型中的人口統計數據：“……每個（代表）代理人都為 $ T $ 時期…我們假設每個人都有 $ e^{f} $ 年齡的孩子 $ B $ . 由於我們只考慮穩態，我們需要推導出與該生育率相關的該經濟體的固定年齡分佈。我們的假設意味著 $ N(a, t)=e^{f} N(B, t-a) $ 和 $ N\left(t^{\prime}, t\right)=0, t^{\prime}>T $ . 在穩定狀態下很容易檢查 $ N(a, t)=\phi(a) e^{\eta t} $ ， 在哪裡 $ \phi(a)=\eta \frac{e^{-\eta a}}{1-e^{-\eta T}} $ 和 $ \eta=f / B $ 是人口增長率。”
我不知道這個穩態是如何計算的？
我不知道紙張也不知道符號，所以我只是在這裡猜測。我猜 $ N(a,t) $ 是年齡代理的數量 $ a $ 在時間段 $ t $ .
讓我們跟隨年齡的數字 $ B $ 跨代： $$ \begin{align*} N(B,t) &= e^f N(B, t- B),\ &= e^{2f} N(B, t - 2 B),\ &= \ldots,\ &= e^{f t/B} N(B,0),\ &= e^{\eta t} N(B, 0). \end{align*} $$ 然後在定義中使用這個 $ N(a,t) $ ， 我們有： $$ N(a,t) = e^f N(B, t- a) = e^f e^{\eta(t - a)}N(B,0). $$ 接下來，我假設在期間 $ 0 $ 有大小為 1 的質量，但沒有人比 $ T $ 時期，因此整合所有年齡段： $$ \begin{align*} &\int_0^T N(a,0) da = 1,\ \to &\int_0^T e^f e^{-\eta, a}N(B,0) da = 1,\ \to &e^f N(B,0) \left[-\frac{e^{-\eta a}}{\eta}\right]^T_0 = 1,\ \to &e^f N(B, 0) \left[1 -e^{-\eta T}\right] = \eta,\ \to &e^f N(B, 0) = \frac{\eta }{1 - e^{-\eta T}} \end{align*} $$ 所以代入表達式 $ N(a,t) $ 給出： $$ N(a,t) = \eta\frac{e^{-\eta a}}{1 - e^{-\eta T}} e^{\eta t} $$