宏觀經濟學
編寫 CIES/CARA 實用程序的不同方式
我經常遇到以下兩種編寫 CIES 或 CRRA 偏好的版本：
$$ u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}-1}{1 - \theta} $$
…和…
$$ u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}}{1 - \theta} $$
兩者之間的唯一區別是分子中包含或省略了-1。
我一生都無法弄清楚這兩種形式的功能差異是什麼。
有沒有？不同的寫作方式之間的推理是什麼？
第一個函式是“原始”CRRA 函式。
$$ u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}-1}{1 - \theta} $$
第二個函式是第一個函式的單調變換。任何效用函式的單調變換仍將代表相同的偏好（單調變換保留偏好的順序）。
$$ u(c_t) = \frac{c_t^{1-\theta}}{1 - \theta} $$
為了數學上的方便，人們經常會使用單調變換。因此，為了節省一些時間和精力，您可以只使用第二個問題，它仍然代表與第一個問題相同的消費者偏好，但它更容易處理。
但是，正如 Michael Greinecker 在評論中指出的那樣，這也是正仿射變換，因此它可能並不總是適用於某些隨機事件，或者如果您關心具有可加性可分離的時間偏好。