貼現因子、函式和利率
考慮指數折扣因子 $ \delta\in(0,1) $ .
同樣，考慮指數折扣 $ \textit{function} $ : $ g(t)=\delta^t $ .
然後，定義折扣 $ \textit{rate} $ 如下定義一個正確的方法？我的直覺是貼現率代表貼現函式衰減的速率：
$ \rho=\frac{\frac{-dg(t)}{dt}}{g(t)}. $
給定折扣函式 $ g(t) $ ,貼現率是貼現函式隨時間遞減的比率。如果時間是離散的，那麼（可能隨時間變化的）貼現率是 $$ \begin{equation} \rho(t)=-\frac{g(t)-g(t-1)}{g(t)}. \end{equation} $$ 如果我們將每個時期分為 $ n $ 等間隔並讓 $ n\to\infty $ ，那麼我們得到連續時間的貼現率為 $$ \begin{equation} \rho(t)=-\frac{g’(t)}{g(t)}, \end{equation} $$ 這與您的表達方式相同。
（可能隨時間變化的）折扣因子定義為 $$ \begin{equation} \delta(t)=\frac{g(t)}{g(t-1)}. \end{equation} $$
使用指數貼現，貼現率是恆定的，即 $ \rho(t)=\rho $ 對全部 $ t $ ，並且（離散時間）折扣函式由下式給出 $$ \begin{equation} g(t)=\frac{1}{(1+\rho)^t}=\delta^t \end{equation} $$ 在哪裡 $ \delta=\frac{1}{1+\rho} $ 是常數貼現因子。
連續時間類似物是 $$ \begin{align} g(t)&=\mathrm e^{-\rho t}\ \delta(t)=\delta&=\mathrm e^{-\rho} \end{align} $$ 同樣，這些是通過將每個時間段劃分為 $ n $ 等間隔並觀察到 $ \lim_{n\to\infty}(1+\frac{\rho}{n})^{-nt}=\mathrm e^{-\rho t} $ .