有限地平線動態規劃問題是否存在策略函式？
我一直在研究有限範圍內的吃蛋糕問題，並一直試圖弄清楚我們是否可以為這樣的問題推導出策略函式。我的作品寫在下面。
此類問題的序列形式為：
$$ \max {c_t,x{t+1}}U(c_t)=\sum_{i=0}^T\beta^tu(c_t),\ \ \ \ \ \ 1>\beta>0 $$ $$ s.t. x_{t+1}=x_{t}-c_t $$
假設這種偏好的瞬時效用函式是 $ u(c_t)=\ln(c_t) $ 因此，此類問題的函式方程為：
$$ v(x_{t+1})=\max_{x_{t+1}}{\ln(x_t-x_{t+1})+\beta v(x_{t+1})} $$
在這種情況下，我假設 $ T=2 $ （我們從零期開始有三個時期）並假設 $ x_0>0 $ . 從我們知道的反向歸納解決問題。 $$ v(x_2)=\ln(x_2) $$ 從這個結果可以看出，對於前一個時期的價值函式，我們有： $$ v(x_1)=\max_{x_2}{\ln(x_1-x_2)+\beta v(x_2)} $$ $$ v(x_1)=\max_{x_2}{\ln(x_1-x_2)+\beta \ln(x_2)} $$
在對該結果取一階條件並求解 $ x_2 $ 我們得到： $$ x^* _2=\frac{\beta x_1}{1+\beta} $$
我們現在知道我們的價值函式被正確定義為：
$$ v(x_1)=\ln\left(x_1-\frac{\beta x_1}{1+\beta}\right)+\beta \ln\left(\frac{\beta x_1}{1+\beta} \right) $$
簡化： $$ v(x_1)=\ln\left(\frac{ x_1}{1+\beta}\right)+\beta \ln\left(\frac{\beta x_1}{1+\beta}\right) $$
對於我們的 $ v(x_0) $ 我們之前遵循相同的程序
$$ v(x_0)=\max_{x_1}{\ln(x_0-x_1)+\beta v(x_1)} $$ $$ v(x_0)=\max_{x_1} \left {\ln(x_0-x_1)+\beta \left[\ln\left(\frac{ x_1}{1+\beta}\right)+\beta \ln\left(\frac{\beta x_1}{1+\beta}\right) \right]\right} $$
在解決這樣一個優化問題後，我們發現：
$$ x_1^*=\frac{(\beta+\beta^2)x_0}{1+\beta+\beta^2} $$
從我上面所做的這項工作中，我們可以看到策略功能在每個時期都在變化。
鑑於上述解決方案，是否存在時間不變的策略函式？
不，根據定義，它們不能。要導出一個時不變的策略函式，您需要有一個無限視野問題。這是因為無論何時查看，解決方案的結構都保持不變。直覺地說，這是因為從任何時期到無窮大的任何時期序列看起來都是一樣的。這方面的技術條件可以在許多教科書中找到（Adda 和 Cooper、Sargent 以及 Stokey/Lucas）。
在您的範例中，剩餘的周期數決定了解決方案的結構。