兩個時期休閒之間的替代彈性
這是一個基本問題，但我是宏觀模型的新手。問題來自羅默的文字。
假設一個家庭只有一個成員，沒有初始財富，家庭生活兩個時期。我們有
$$ U=\ln(c_1)+b\ln(1-l_1)+e^{-\rho}[\ln(c_2)+b\ln(1-l_2)], $$ 在哪裡 $ c_i=w_il_i $ 和 $ \rho $ 是一個折現率 $ (0,1) $ .
文中說：“由於對數函式形式，兩個時期休閒之間的替代彈性為 $ 1 $ .” 我試圖驗證彈性是 $ 1 $ 如下：
令 U_1 表示 U 的偏導數 $ l_1 $ . 類似的 $ U_2 $ . 然後，
$$ E_{21}=\frac{d\ln(l_2/l_1)}{d\ln(U_1/U_2}=(\frac{dl_2}{l_2}-\frac{dl_1}{l_1})/(\frac{dU_1}{U_1}-\frac{dU_2}{U_2}), $$ 在哪裡 $ U_1=\frac{1}{U_1}-\frac{b}{1-l_1} $ 和 $ dU_1=(-\frac{1}{l_1^2}-\frac{b}{(1-l_1)^2})dl_1 $ . 應該怎麼 $ E_{21}=1 $ ? 事實上，我得到了一些超級混亂的東西。因此，我懷疑我的方法是否正確。也許我的公式不正確？提前致謝！
我認為你的計算有兩個問題。首先，作為 $ l_i $ 是投入工作的時間，你應該關心 $ \frac{d\ln\frac{1-l_2}{1-l_1}}{d\ln (U_1/U_2)}, $ 比 $ \frac{d\ln\frac{l_2}{l_1}}{d\ln (U_1/U_2)} $ 你考慮。第二，我不認為你的 $ U_i $ 是正確的（也許是首先引起的）。我明白了
$$ \begin{matrix} U_1=\frac{b}{1-l_1} & U_2=\frac{be^{-\rho}}{1-l_1}\end{matrix}, $$
這導致邊際替代率是
$$ MRS=\frac{U_1}{U_2}=\frac{1-l_2}{1-l_1}\frac{1}{e^{-\rho}}. $$
如果你取對數，你會得到
$$ \ln MRS = \ln \frac{1-l_2}{1-l_1}+\ln\frac{1}{e^{-\rho}}, $$
觀察 RHS 的最後一項是常數是有用的。現在，總差異為
$$ d\ln MRS = d\ln \frac{1-l_2}{1-l_1}+0, $$
你會得到想要的結果。