禀賦經濟
考慮一個由兩種無限壽命消費者組成的經濟體，奇數和偶數。每種類型的消費者都有一個大眾。經濟中只有一種商品。經濟始於 $ t = 0 $ . 奇數代理人有一個禀賦序列$$ e^0={3,1,3,1…} $$甚至代理商都有$$ e^0={1,3,1,3…} $$兩種類型的代理的偏好都由效用函式描述$$ U ( c ) =\sum\beta log\ c_t $$.
我需要計算價格和分配。到目前為止我所做的：
$$ \max\sum\beta log\ c_t \ s.t \sum p_tc_t^i=\sum p_te_t^i $$市場清晰 $ c_t^1+c_t^2\leq e_t $
$$ L=\sum\beta log\ c_t-\lambda^i(\sum p_tc_t^i-\sum p_te_t^i) $$並得到了焦點： $ \frac{\beta^t}{c-t^i}=\lambda^ip_t $ . 猜測 $ p_t = \beta_t $ 我知道兩個代理的消費分配是恆定的。我用它們來表示它們 $ c^1 $ 和 $ c^2 $ . 在預算約束中使用這些資訊，我發現：$$ c^i\sum\beta^t=\sum p_te_t^i $$. 這是我卡住的地方。我知道我們應該使用幾何序列，但我不確定。是 $ c^1=\frac{1}{1+\beta}? $
讓我們理所當然地認為 $ \sum_t p_t e_t^i $ 是有限的。
一階條件給出： $$ \frac{\beta^t}{c_t^i} = \lambda^i p_t $$ 這給出了： $$ c_t^i = \frac{1}{\lambda^i}\frac{\beta^t}{p_t} \tag{1} $$ 如果我們插入預算約束，我們得到： $$ \begin{align*} &\sum_t \frac{1}{\lambda^i} \beta^t = \sum_t p_t e_t^i,\ \to &\frac{1}{\lambda^i} \sum_t \beta^t = \sum_t p_t e_t^i,\ \to &\frac{1}{\lambda^i} \frac{\beta}{1 - \beta} = \sum_t p_t e_t^i,\ \to &\frac{1}{\lambda^i} = \frac{(1-\beta)}{\beta}\sum_t p_t e_t^i. \end{align*} $$ 代回 $ (1) $ 給出時間段 $ v $ : $$ c_v^i = \frac{(1-\beta)}{\beta} \frac{\beta^v}{p_v} \sum_t p_t e_t^i \tag{2} $$
每個時期的市場均衡 $ v $ 給出： $$ \begin{align*} &c_v^1 + c_v^2 = 4,\ \to &\frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{\beta^v}{p_v} \sum_t p_t (e_t^1 + e^t_2) = 4,\ \to &\frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{\beta^v}{p_v} \sum_t p_t = 1 \end{align*} $$ 這必須為每個 $ v $ ， 所以 $ p_v = \beta^v $ 是這裡的解決方案。
然後我們可以計算個人 1 在周期內的消費 $ v $ 如下： $$ \begin{align*} c_v^1 &= \frac{(1-\beta)}{\beta}\sum_t p_t e_t^i,\ &= \frac{(1-\beta)}{\beta}\left[\sum_{t \text{ odd}} \beta^t 3 + \sum_{t \text{ even}} \beta^t \right],\ &= \frac{(1-\beta)}{\beta} \left[ \frac{3 \beta}{1 - \beta^2} + \frac{\beta^2}{1 - \beta^2}\right],\ &= \frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{ 3 \beta + \beta^2}{1 - \beta^2},\ &= \frac{(1 - \beta)}{\beta} \frac{(3 + \beta) \beta}{(1-\beta)(1+\beta)},\ &= \frac{3 + \beta}{1 + \beta}. \end{align*} $$
我們有那個 $ c_v^2 $ 將等於 $ \dfrac{1 + 3 \beta}{1 + \beta} $ .