連續時間 VS 離散時間中的歐拉方程

我已經看到基線新古典增長模型的離散時間歐拉方程寫成： $$ \frac{U’(c_{t+1})}{U’(c_{t})}=\frac{1}{\beta(1+r)} $$

但是我也看到了連續時間等效的歐拉方程寫成： $$ \frac{U’’(c(t))}{U’(c(t))}\dot{c}(t)=r-f’(k) $$

忽略這些方程的右側（根據模型設置而有所不同）並只看左側，我看到了同一個方程的兩個非常不同的公式。

我的問題是：“與離散時間對應部分相比，連續時間中的歐拉方程在概念上如何表示同一事物？”

（直覺地）查看左側之間連接的一種方法是將離散情況寫為： $$ \frac{u’(c(t + \tau))}{u’(c(t))}, $$ 為了 $ \tau = 1 $ . 現在，如果我們將其推廣到一個設置 $ \tau $ 現在是一個變數 $ \mathbb{R} $ ，這變成了一個函式 $ \tau $ . 取關於的導數 $ \tau $ 並評估 $ \tau = 0 $ ，給出： $$ \frac{u’’(c(t))}{u’(c(t))} \dot c(t). $$ 這是連續情況的左側。因此，連續情況的左側可以看作是離散設置的“導數”（當允許時間間隔變為零時）。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/43602