歐拉定理
誰能給我以下每個歐拉方程背後的聯繫和直覺-
生產函式中的歐拉方程表示，要素支付總額等於同質化程度乘以產出，給定要素按邊際生產率支付。參考這個 - http://www.applet-magic.com/euler.htm
歐拉的消費方程試圖找到最優消費路徑，其中由於今天的消費少一點而損失的邊際效用與未來更高消費的預期效用收益相匹配。請參閱此 - https://www.quora.com/What-is-the-Euler-condition
1.有人能解釋一下這兩者之間有什麼聯繫嗎？
- 使用它們的動機（直覺）是什麼？
它們都以一種或另一種方式與同一數學對象的擴展相關，即Cauchy-Euler 微分方程，其形式為
$$ a_{n} x^n f^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} f^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 f(x) = 0 \tag{1} $$ 在哪裡 $ f^{(n)} $ 表示 $ n $ - 函式的導數 $ f $ . 它的一階版本是
$$ a_{1} x f^{(1)}(x) + a_0 f(x) = 0\tag{2} $$ A.“齊次函式的歐拉定理”。
考慮多元擴展中的一階 Cauchy-Euler 方程：
$$ a_1\mathbf x’\cdot \nabla f(\mathbf x) + a_0f(\mathbf x) = 0 \tag{3} $$ 歐拉的齊次函式定理本質上說，如果一個多元函式是齊次的 $ r $ ，則它滿足多元一階 Cauchy-Euler 方程，其中 $ a_1 = -1, a_0 =r $ .
B.“歐拉的消費方程”。
考慮一階 Cauchy-Euler 微分方程的單變數但非線性擴展：
$$ a_{1}g(x) f^{(1)}(x) + a_0 f(x) = 0 \tag{4} $$ 現在設置 $ x=t $ （即等於時間），和 $ f(x) = C(t) $ （例如，人均消費）。然後 $ (4) $ 寫著
$$ a_{1}g(t) \frac{dC(t)}{dt} + a_0 C(t) = 0 $$ $$ \implies \dot C = -\frac {a_0}{a_{1}g(t)}C(t) \tag{5} $$ 我們意識到跨期效用最大化問題的解決方案是由以下形式的方程描述的 $ (5) $ ，具有合適的值和形式 $ a_0, a_1, g(t) $ . 例如，在 Ramsey 模型中，我們可以設置 $ a_0=-1, a_1 = 1, g(t) = (r(t)-\rho)^{-1} $
Cauchy-Euler 非線性擴展的離散模擬（即離散時間）是
$$ a_{1}g(t) \Delta C_{t+1} + a_0 C_t = 0 $$ $$ \implies C_{t+1} = \left (1-\frac {a_0}{a_1 g(t)}\right) C_t $$ 我們再次看到，離散時間跨期效用問題的解滿足 Cauchy-Euler 一階方程。
為什麼“Cauchy”這個名字前綴在經濟學文獻中消失了，我不知道。