從總供給方程到通貨膨脹率的定義
根據定義，通貨膨脹率是$$ \pi=\dfrac{P-P_{-1}}{P_{-1}}\cdot100% $$或者可以根據消費者價格指數CPI來定義，但在這種情況下，我認為前者是要考慮的。
從 Blanchard、Amighini 和 Giavazzi 的《宏觀經濟》一書中，總供給方程為$$ \begin{equation} P=P^e(1+\mu)F(u^-,z^+) \end{equation} $$ 從這裡開始，並採取特定的 $ F: $
$$ \begin{align} P&=P^e(1+\mu)e^{-\alpha u+z} \nonumber\ \ln(P)&=\ln(P^e)+\ln(1+\mu)-\alpha u+z \nonumber\ \ln(P)-\ln(P_{-1})&=\ln(P^e)-\ln(P_{-1})+\ln(1+\mu)-\alpha u+z \nonumber\ \ln(P)-\ln(P_{-1})&=\ln(P^e)-\ln(P_{-1})+\mu-\alpha u+z\dots \text{due to $\ln(1+\mu)\approx\mu$ because $\mu$ is close to $0$ } \nonumber \end{align} $$
因此$$ \begin{align}\pi=\pi^e+(\mu+z)-\alpha u \end{align} $$
為什麼？例如如何從 $ \ln(P)-\ln(P_{-1}) $ 到 $ \pi $ ?
我們知道 $ \ln(P)-\ln(P_{-1})=\ln\dfrac{P}{P_{-1}}\fbox {=?}\dfrac{P}{P_{-1}}-1 $
先感謝您
這是因為對於小值 $ x $ ,$$ \ln x_{t+1} - \ln x_{t} \approx \frac{x_{t+1}-x_{t}}{x_{t}}. $$
這保持自增長率 $ g $ 可以表示如下：
$$ g= \frac{x_{t+1}-x_{t}}{x_{t}} \implies x_{t+1} = (1+g)x_{t} $$
記錄日誌我們得到：
$$ \ln x_{t+1} = \ln (1+g)+ \ln x_{t} \implies \ \ln x_{t+1} -\ln x_{t} = \ln (1+g) $$
最後，對於較小的值 $ g $ 我們明白了 $ \ln (1+g) \approx g $ 因此我們得到：
$$ \ln x_{t+1} -\ln x_{t} \approx g $$
出於同樣的原因，對於較小的通貨膨脹值（並且通貨膨脹通常會取值 $ \pi<0.1 $ ) 將通貨膨脹定義為是完全合理的 $ \pi = \ln P_t - \ln P_{t-1} $ （雖然使用起來更合適 $ \approx $ ).