Hamilton-Jacobi-Bellman 方程
讓我們考慮一下 Romer 開發的帶有輸入品種的實驗室設備模型。
擁有多款機器藍圖的價值 $ \nu $ 是（誰）給的：
和：
表示壟斷生產機器的利潤 $ \nu $ 有時 $ t $ , $ x(\nu, t) $ 和 $ p^x(\nu, t) $ 是壟斷者利潤最大化的選擇 $ r(t) $ 是當時的市場利率 $ t $ . 最後， $ \psi $ 是生產一台該機器的邊際成本。這個邊際成本等於 $ \psi $ 單位最後好。
或者，假設價值函式在時間上是可微的，這個方程可以寫成Hamilton-Jacobi-Bellman 方程的形式，如下所示：
你能告訴我如何推導出最後一個方程嗎？
$$ V(v, t)=\int_{t}^{t+\Delta t} \exp \left(-\int_{t}^{s} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) \pi(v, s) d s + \exp \left(-\int_{t}^{t+\Delta t} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) V(v, t+\Delta t) $$
使用泰勒展開，$$ V(v, t+\Delta t) = V(v, t)+\frac{\partial V(v, t)}{\partial t} \Delta t + o(\Delta t) $$.
將其替換為第一個等式：$$ -\int_{t}^{t+\Delta t} \exp \left(-\int_{t}^{s} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) \pi(v, s) d s = \left( \exp \left(-\int_{t}^{t+\Delta t} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) - 1\right) V(v, t) \ + \exp \left(-\int_{t}^{t+\Delta t} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) \left(\frac{\partial V(v, t)}{\partial t} \Delta t + o(\Delta t)\right) $$.
將此等式除以 $ \Delta t $ ，並取極限為 $ \Delta t \to 0 $ （又名取導數），你得到 HJB 方程。