幫助（簡單）對數線性化
作為經濟模型的解決方案，我最終得到以下等式： $$ L=\frac{\alpha f^{\epsilon}s\left [ 1-Ak(1-\alpha+\alpha f^{\epsilon}s)^{\frac{1}{\epsilon}} f^{-1} s^\frac {-1}{\epsilon}\right ]}{\left [ 1-\alpha(1+f^{\epsilon}s) \right ]} $$
有什麼方法可以進一步簡化它並使其更具可讀性，例如通過微分或對數線性化？在後一種情況下，使用以下近似值會變成怎樣 $ ln(1+x)\approx x $ ?
我提前感謝任何花一分鐘時間幫助我的人。
讓我們先做一些替換。定義 $ g = f^\varepsilon s $ . 這給出了： $$ \begin{align*} L &= \frac{\alpha g[1 - Ak(1 - \alpha + \alpha g)^{1/\varepsilon} g^{-1/\varepsilon}]}{1 - \alpha(1 + g)},\ &= \frac{\alpha g[1 - AK(1 - \alpha(1 - g))^{1/\varepsilon}g^{-1/\varepsilon}]}{1 - \alpha(1 + g)},\ &= \frac{\alpha \left[1 - Ak\left(\frac{1- \alpha(1 - g)}{g}\right)^{1/\varepsilon}\right]}{\frac{1 - \alpha(1+g)}{\alpha g}} \end{align*} $$ 上的兩個術語 $ \alpha $ 和 $ g $ 在分母和分子中除了符號相反外幾乎相同。所以也許這是一個錯字。我將繼續假設它是。
假設標誌在 $ g $ 被翻轉，然後定義 $$ h = \frac{1 + \alpha(1- g)}{g} $$
這允許壓縮形式： $$ L = \frac{\alpha[1 - Ak h^{1/\varepsilon}]}{h} \tag{1} $$
然後： $$ \ln L = \ln \alpha + \ln(1 - A k h^{1/\varepsilon}) - \ln h $$
和： $$ \frac{\partial \ln L}{\partial t} = \frac{\partial \ln(1 - A k h^{1/\varepsilon})}{\partial t} - \frac{\partial \ln h}{\partial t} $$
右手邊的一階導數等於： $$ \begin{align*} \frac{\partial (1 - A k h^{1/\varepsilon})}{\partial t} &= -\frac{A k h^{1/\varepsilon} \dfrac{\dot k}{k} + \frac{1}{\varepsilon} A k h^{1/\varepsilon}\dfrac{\dot h}{h}}{1 - A k h^{1/\varepsilon}},\ &=- \frac{A h^{1/\varepsilon}k}{1 - A k h^{1/\varepsilon}}\frac{\dot k}{k}- \frac{1}{\varepsilon} \frac{A k h^{1/\varepsilon} }{1 - A k h^{1/\varepsilon}} \frac{\dot h}{h} \end{align*} $$ 所以： $$ \frac{\dot L}{L} = - \frac{A k h^{1/\varepsilon}}{1 - Ak h^{1/\varepsilon}} \frac{\dot k}{k} - \frac{1}{\varepsilon} \frac{A k h^{1/\varepsilon}}{1 - A k h^{1/\varepsilon}} \frac{\dot h}{h} - \frac{\dot h}{h} $$ 現在我們知道從 $ (1) $ 那： $$ 1 - A k h^{1/\varepsilon} = \frac{L h}{\alpha}, $$ 所以： $$ \frac{\dot L}{L} = - \dfrac{1-\dfrac{L h}{\alpha}}{\dfrac{Lh}{\alpha}} \frac{\dot k}{k} - \frac{1}{\varepsilon} \frac{1-\dfrac{Lh}{\alpha}}{\dfrac{Lh}{\alpha}} \frac{\dot h}{h}- \frac{\dot h}{h},\ = - \left(\frac{\alpha}{Lh} - 1\right)\frac{\dot k}{k} - \frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{\alpha}{Lh} - 1\right)\frac{\dot h}{h} - \frac{\dot h}{h},\ = \left(1- \frac{\alpha}{Lh}\right)\frac{\dot k}{k} - \frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{\alpha}{Lh} - 1 + \varepsilon\right)\frac{\dot h}{h} $$ 下一個， $ h = \dfrac{1 + \alpha(1 -g)}{g} $ 所以記錄日誌給出： $$ \ln h = \ln (1 + \alpha(1 - g)) - \ln g $$ 對時間求導得到： $$ \frac{\dot h}{h} = \frac{-\alpha g}{1 + \alpha(1 - g)}\frac{\dot g}{g} - \frac{\dot g}{g},\ = - \frac{1 + \alpha}{1 + \alpha( 1 - g)}\frac{\dot g}{g},\ = -\frac{(1+\alpha)}{hg} \frac{\dot g}{g},\ = -\frac{hg + \alpha g}{hg} \frac{\dot g}{g},\ = \frac{h + \alpha}{h} \frac{\dot g}{g} $$ 最後， $ g = f^\varepsilon s $ 所以： $$ \frac{\dot g}{g} = \varepsilon \frac{\dot f}{f} + \frac{\dot s}{s} $$ 這一起給出了： $$ \begin{align*} \frac{\dot L}{L} &= \left(1 - \frac{\alpha}{Lh}\right) \frac{\dot k}{k} ,\ &+ \left(\frac{\alpha}{Lh} - 1 + \varepsilon\right)\frac{h + \alpha}{h}\frac{\dot f}{f},\ &+\frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{\alpha}{Lh} - 1 + \varepsilon\right)\frac{h + \alpha}{h}\frac{\dot s}{s} \end{align*} $$
你想達到什麼目的？如果您的目標只是對等式線性化，那麼您能得到的最好的結果是
$$
ln(L) = ln(a) + {\epsilon}ln(f)+ ln(s)+ ln[1-Ak(1-\alpha+\alpha f^{\epsilon}s)^{\frac{1}{\epsilon}} f^{-1} s^\frac {-1}{\epsilon}] - ln[ 1-\alpha(1+f^{\epsilon}s)] $$