幫助進行這個微觀經濟學練習
問題：
一個接受價格的農民以勞動力 L 作為唯一投入生產一種作物。他的生產函式是：
$$ F(L) = 10L^{1/2} − 2L $$ 他家有 4 個單位的勞動力，不能從有薪勞動力市場僱傭勞動力。他沒有任何僱傭家庭勞動力的成本。
一種。找出他的均衡產出水平。
灣。假設政府徵收 10% 的所得稅。這如何影響他的均衡輸出？
C。假設一種替代生產技術由下式給出：
$$ F(L) = 11 L^{1/2} − L −15 $$可用。農民會採用這種替代技術嗎？ 我的做法：
一種。由於成本為0，農民是價格接受者，他將嘗試最大化他的產量，通過 FOC 微分**F(L)**我們 L=6.25，其中函式最大。但他可以使用 L=4，因此他的均衡產出水平為 4
灣。納稅時的利潤
$$ R(P,L)=PF(L)-0.1PF(L)=.9PF(L) $$ 再次，他將最大化他的產量並通過 FOC L=6.25，但他將僅使用 L=4，因為這是他對 L 的最大限制，因此即使在稅後平衡也不會改變。 C。他不會採用新技術，因為如果我們將 L=4 放入新的生產函式中，那麼 F(L)=3，這比他早期技術的生產要少。
我的方法對所有三個部分都正確嗎？
給定生產函式
$$ \begin{eqnarray*} F(L) = 10 \sqrt{L} - 2L \end{eqnarray*} $$ 邊際產品是 $$ \begin{eqnarray*} F’(L) = \frac{5}{ \sqrt{L}} - 2 \end{eqnarray*} $$ 由於家庭使用自己的勞動力沒有成本，也不能從外部僱傭，家庭將在擁有 4 個勞動力的約束條件下實現其生產最大化。 $$ \begin{eqnarray*} \max_{L\geq 0} && 10 \sqrt{L} - 2L \ \text{s.t.} && L \leq 4 \end{eqnarray*} $$ 鑑於 $ F’(L) $ 正在掉入 $ L $ 並且是積極的 $ L = 4 $ $ (F’(4) = 0.5) $ ，家庭將最佳使用所有 4 個單元。對應的輸出是 $ 10\sqrt{4} - 2(4) = 12 $ . 和 $ 10% $ 所得稅，公司的目標是最大化總產出淨稅，等於 $ 0.9 F(L) $ . 這個問題的解決方案將和以前一樣，因為我們只是將目標乘以一個正常數。
$$ \begin{eqnarray*} \max_{L\geq 0} && 0.9(10 \sqrt{L} - 2L) \ \text{s.t.} && L \leq 4 \end{eqnarray*} $$ 因此，均衡輸出仍為 $ 10\sqrt{4} - 2(4) = 12 $ 其中 1.2 為稅款，10.8 為消費。
有了新技術，問題就來了
$$ \begin{eqnarray*} \max_{L\geq 0} && 11 \sqrt{L} - L - 15\ \text{s.t.} && L \leq 4 \end{eqnarray*} $$ 上述問題再次給出 $ L = 4 $ 因為解和相應的平衡輸出為 $ 3 $ 這比這家人早先的要少得多。因此，它不會使用這項技術。