如何計算生產力乘數？
鑑於科佈道格拉斯
$ Y_t = A (K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}) $
$ K_{t+1} = sY_t + (1-\delta) K_t $
我們如何使生產率的乘數等於 $ \frac{1}{1-\alpha} $ ? 我明白，如果生產力提高，產出就會增加，因此我們會獲得更多的資本，從而獲得更多的產出等等。但我無法達到這個乘數。
我的嘗試：
如果 A 增加 x，那麼 $ Y_t=(1+x)A (K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}) $
即 Y 增加 x。
$ K_{t+1} = s(1+x)A (K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}) + (1-\delta) K_t $
$ Y_{t+1}=(1+x)A * K_{t+1}^\alpha *L_{t+1}^{1-\alpha} $ $ Y_{t+1}= (1+x)A * (s(1+x)A (K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}) + (1-\delta) K_t)^\alpha * L_{t+1}^{1-\alpha} $
我認為這裡的增加應該是 $ x * \alpha $ 但我看不到。因此，對於一個單位的生產率提高，即 x=1； $ \Delta Y = 1 + \alpha + \alpha^2 +… =\frac{1}{1-\alpha} $
同樣在我們擁有的穩定狀態下， $ Y = A^\frac{1}{1-\alpha} * \frac{s}{\delta}^\frac{\alpha}{1-\alpha} * L $ 取對數，我們得到 A 的百分比變化使 Y 增加 $ \frac{1}{1-\alpha} $ .
讓 $ y=Y/L $ 和 $ k=K/L $ 是每個工人的產出和資本水平。請注意 $ y=Ak^\alpha $ .
穩態由下式給出：$$ k^=sy^+(1-\delta)k^, $$或者$$ k^=sA(k^)^\alpha+(1-\delta)k^. $$
做代數：$$ k^*=\left(\frac{sA}{\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}. $$
和：$$ y^*=A\left(\frac{sA}{\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}=A^{\frac{1}{1-\alpha}}\left(\frac{s}{\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. $$
我不確定“生產力乘數”是什麼意思。我會將這個術語解釋為以下問題的答案：“鑑於 $ A $ , 結果的變化是什麼 $ y^* $ ?” 即如下表達式：$$ \frac{\partial y^*}{\partial A}=\frac{1}{1-\alpha}A^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}\left(\frac{s}{\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. $$
但是，很明顯，這不符合您想要的答案。所以我懷疑真正的意思是彈性 $ y^* $ 關於 $ A $ :$$ \frac{\partial y^}{\partial A}\div \frac{y^}{A}=\frac{1}{1-\alpha}. $$