如何檢查下面的生產函式是否是新古典的
假設我得到了表格的生產函式
$$ \begin{equation*} Y= F(K,L,A) = (\alpha K^{\epsilon} + (1 - \alpha)Y^{\epsilon})^{\frac{1}{\epsilon}} \end{equation*} $$ 在哪裡 $ \epsilon, \alpha \in (0,1) $ .
現在我需要檢查三件事：
- 邊際產品是正的並且它們正在減少
- 滿足稻田條件
- 本質
- 線性均勻性
條件 2 和 4 暗示條件 3，因此無需檢查。當取衍生品時 $ K $ 我看到
$$ \begin{equation*} F_K = \alpha K^{\epsilon -1}(\alpha K^{\epsilon} + (1 - \alpha)Y^{\epsilon})^{\frac{1 - \epsilon}{\epsilon}} >0 \end{equation*} $$ 這是積極的。現在我需要證明 $ F_{KK}< 0 $ . 看：
$$ \begin{equation*} F_{KK} = \alpha (\epsilon -1) K^{\epsilon -2}(\alpha K^{\epsilon} + (1 - \alpha)Y^{\epsilon})^{\frac{1 - \epsilon}{\epsilon}} + \alpha^2 K^{2\epsilon -2} \frac{1- \epsilon}{\epsilon} (\alpha K^{\epsilon} + (1- \alpha) L^{\epsilon})^{\frac{1}{\epsilon}-2} \end{equation*} $$ 但是我找不到一種方法來決定這個表達式的符號。任何幫助，將不勝感激。謝謝。
CES生產功能區分確實很煩人，很容易出錯。但是，嘿，這（代數運算）是工作的一部分，需要練習在符號周圍移動，創建公因數等。
但還有另一種方式可以證明 $ F_{KK} <0 $ 用完全抽象的術語。
**首先，**證明4.（線性同質性），很容易。
二、利用歐拉齊次函式定理，分解 $ Y $ 使用一階導數和變數（這是一個眾所周知的結果）。
第三，重新排列前一個以獲得比方說資本的一階導數的另一種抽象表達。
第四，區分你在第三步得到的，得到一個表達式 $ F_{KK} $ .
以上都是使用抽象符號完成的 $ F_K, F_{KK} $ 等，而沒有實際的 CES 功能形式。在第四步之後，您將需要計算交叉部分，這很容易，即使對於 CES 函式也是如此。