如何推導出拉姆齊-凱恩斯法則與資本運動定律之間的一般關係？
考慮一個代表代理模型，其中代表代理具有標準偏好
$ \int^{\infty}_te^{-\rho t}ln(c(t))dt $
在哪裡 $ \rho>0 $ 和 $ c(t) $ 是 t 時期的消費。生產技術是某種形式
$ y(t) = z(t)f(k(t)) $
例如，為了簡化我所採取的事項 $ f(k(t)) =k(t) $ . 通過假設採取 $ z_t = z^* $ 在偶數週期和 $ z_t= z^{} $ 對於奇數週期，並進一步假設 $ z^{*}-\rho >0 $ 和 $ z^{}-\rho<0 $ 和 $ 0% (\delta= 0) $ 折舊以進一步簡化。
我想解決計劃者的最優分配問題，並證明資本存量、產出和消費在偶數期增加，在奇數期減少。顯然，假設和簡化是在考慮範例的情況下完成的，但我知道社區準則，因此我不會要求這個問題的具體答案。但是，我要求的是如何從歐拉方程發展到資本運動定律的一般策略。更清楚地說，讓我展示一下：
清楚地 $ \dot k(t) = z(t) k(t) - c(t) $ . 我們需要以某種方式將歐拉方程與這個運動定律聯繫起來，以得出兩者之間的一般關係 $ \frac{\dot k(t)}{k(t)} $ 和 $ \frac{\dot c(t)}{c(t)} $ . 解決 $ \frac{\dot c(t)}{c(t)} $ 很容易，因為我們可以設置目前值 Hamiltonian 並得到結果 $ \frac{\dot c(t)}{c(t)} = z(t) - \rho $ . 這給出了之間的關係 $ z(t)-\rho $ 和 $ \frac{\dot c(t)}{c(t)} $ , 所以我們可以插入問題給出的假設來推導出關係 $ \frac{\dot c(t)}{c(t)}>0 $ 在偶數週期和 $ \frac{\dot c(t)}{c(t)}<0 $ 在奇數時期。這一點很清楚。
但是，我對如何從這種關係到資本運動定律感到困惑。要查看為什麼需要連結，我們可以使用生產函式 $ f(k(t)) $ 並根據時間進行區分，看看它是如何演變的。所以我們有
$ y(t) = z(t)k(t) $ 和 $ \frac{\dot y(t)}{y(t)} = \frac{\dot z(t)}{z(t)} + \frac{\dot k(t)}{k(t)} $
一般來說 $ \frac{\dot z(t)}{z(t)} $ 在像這樣的簡單模型中將是外生的。在該模型的上下文中，它由假設給出， $ \frac{\dot z(t)}{z(t)}>0 $ 在偶數週期和 $ \frac{\dot z(t)}{z(t)}<0 $ 對於奇數時期。然後我們需要了解如何 $ \frac{\dot k(t)}{k(t)} $ 隨著進化 $ \frac{\dot c(t)}{c(t)} $ . 然後我被卡住了，因為我們只知道
$ \dot k(t) = z(t)k(t) -c(t) $
這使得
$ \frac{\dot k(t)}{k(t)} = z(t) - \frac{c(t)}{k(t)} $ .
如果我被告知要尋找穩態，那麼我知道在哪裡尋找，我可以使用 $ \frac{\dot k(t)}{k(t)}=0 $ 並繼續。但這個問題更籠統。在我們不關心穩態的情況下，應該如何處理這樣的問題？
好吧，你實際上可以解決 $ k $ 分析地。這只是標準的一階線性 ODE 技術。
微分方程的解 $ \dot{c}(t) / c(t) = z(t) - \rho $ 是
$$ c(t) = c_0 \exp\left( \int_0^t z(s) ds - \rho t \right) $$
將其插入 $ \dot{k}(t) - z(t)k(t) = - c(t) $ , 兩邊乘以 $ \exp\left( -\int_0^t z(s) ds \right) $ 並使用產品規則，我們得到
$$ \frac{d}{dt} \left[ k(t) \exp\left( -\int_0^t z(s) ds \right) \right] = -c_0 e^{-\rho t} $$
解決方案是
$$ k(t) = \left[ k_0 + \frac{c_0}{\rho} (e^{-\rho t} - 1) \right] \exp\left( \int_0^t z(s) ds \right) $$
剩下的就是解決 $ c_0 $ . 這實際上是練習中最棘手的部分。首先，注意穩態 $ (c^, k^) $ 滿足 $ c^* = \rho k^* $ . 接下來，橫向條件給了我們 $ (c(t), k(t)) \to (c^, k^) $ ， 所以
$$ \begin{align} c^* &= c_0 \zeta \ k^* &= \left( k_0 - \frac{c_0}{\rho} \right) \exp\left( \int_0^\infty z(t) dt \right) + \frac{c_0}{\rho} \zeta \ \text{where} \quad \zeta &= \lim_{t \to \infty} \exp\left( \int_0^t z(s) ds - \rho t \right) \end{align} $$
最後，將上述內容插入 $ c^* = \rho k^* $ 並減去 $ c_0 \zeta $ 從雙方，我們得到 $ c_0 = \rho k_0 $ . 因此，我們實際上有一個很好的封閉形式 $ k $ :
$$ k(t) = k_0 \exp\left( \int_0^t z(s) ds - \rho t \right) $$