如何在增長率中獲得這個生產函式
我正在努力理解 Khan & Reinhart (1990) 如何從下一個生產函式出發。
$$ y=A f(K,L,Z) $$
在哪裡 $ y $ 是經濟的生產， $ A $ 是一個包含技術變化的變數， $ K $ 是經濟體的資本存量， $ L $ 是經濟的勞動（工作）， $ Z $ 是包含通常協變數的變數向量。
放入以下結果作為增長率的表達式。
$$ \frac{dy}{y} = [A \frac{\partial y}{\partial K}]\frac{dK}{y} + [A \frac{\partial y}{\partial L} \frac{L}{y}]\frac{dL}{L} + [A \frac{\partial y}{\partial Z}\frac{Z}{y}]\frac{dZ}{Z} + \frac{dA}{A} $$
資訊是 $ y,K,L,Z $ 是變數（我知道是多餘的，但我想澄清一下），但是，在文章中，他們提到 $ A $ 假設增長外生率（我假設 $ A $ 也被視為第一個方程中的變數）。他們不再明確轉換，只是“增長術語”。
作者提到的最後一個表達式是“增長術語” $ y=Af(K,L,Z) $ . 但我就這樣弄丟了。通常為了表達增長率，我簡單地使用對數並隨著時間的推移進行區分。但這種方法對我來說並不清楚。
我的直覺是 $ y $ 用以下形式的總微分計算 $$ dy=\frac{\partial y}{\partial K}dK + \frac{\partial y}{\partial L}dL + \frac{\partial y}{\partial A}dA $$
然後除以 $ y $ . 但是，我在學習時從未見過總差異，所以我不知道是否 $ A $ 正在成倍增加 $ f $ 我們可能需要繼續執行衍生品的乘積規則？或者得到結果的實際過程是什麼 $ dy/y $ 當他們得到。
參考文獻：Khan, MS & Reinhart, CM (1990) 發展中國家的私人投資和經濟增長世界發展，第 18 卷，第 1 期，1990 年 1 月，第 19-27 頁，DOI：https ://doi.org/10.1016/0305 -750X(90)90100-C
給定
$$ Y = Af(K,L,Z) $$
它遵循
$$ \dot Y = \dot A f + A\frac{\partial f}{\partial K}\dot K + A \frac{\partial f}{\partial L} \dot L + A \frac{\partial f}{\partial Z} \dot Z, $$
其中虛線表達式是時間導數並除以 $ Y $ 它跟隨
$$ \frac{\dot Y}{Y} = \frac{\dot A}{A} + \left[A\frac{\partial f}{\partial K}\right]\frac{\dot K}{Y}+ \left[A \frac{\partial f}{\partial L} \frac{1}{Y}\right] \dot L + \left[A \frac{\partial f}{\partial Z} \frac{1}{Y}\right]\dot Z , $$
並除以 $ L $ 和 $ Z $ 在相關的總結中，
$$ \frac{\dot Y}{Y} = \frac{\dot A}{A} + \left[A\frac{\partial f}{\partial K}\right]\frac{\dot K}{Y}+ \left[A \frac{\partial f}{\partial L} \frac{L}{Y}\right] \frac{\dot L}{L} + \left[A \frac{\partial f}{\partial Z} \frac{Z}{Y}\right]\frac{\dot Z}{Z} , $$
然後方括號中的項定義為 $ \alpha_1,\alpha_2 $ 和 $ \alpha_3 $ 分別是
- 資本的邊際生產力 $ \alpha_1 = A \frac{\partial f}{\partial K} $
- 產出相對於勞動力的彈性 $ \alpha_2 = A \frac{\partial f}{\partial L} \frac{L}{Y} $ 和
- 產出相對於其他因素的彈性 $ \alpha_3 = A \frac{\partial f}{\partial Z} \frac{Z}{Y} $
在作者寫的文本中 $ \partial Y/\partial X $ 和 $ X\in {K,L,Z} $ 代替 $ \partial f/\partial X $ 這一定是一個錯字。例如，很難說服自己 $ Y = A f(K,L,Z) $ 資本的邊際生產力是 $ A \frac{\partial Y}{\partial K} $ 而不是 $ \frac{\partial Y}{\partial K} = A \frac{\partial f}{\partial K} $ .
顯然，拼寫錯誤無關緊要，因為這些術語是出於估計的目的而參數化的。