如何為這個效用最大化問題設置哈密頓量？
考慮一個有代表性的家庭，該家庭積累資本、賺取勞動和資本收入、消費部分收入、購買債券並納稅。
家庭最大化其終生效用
$$ \max_{c_t, l_t, k_t, b_t} \int_0^\infty e^{-\rho t} u(c_t, 1-l_t) dt $$
受預算約束：
$$ \dot{k_t} + \dot{b_t} = w_t l_t + (R_t - \delta) k_t + r_t b_t - c_t - \tau_t $$
內生變數：
- $ c_t = $ 消費
- $ l_t = $ 勞力
- $ k_t = $ 首都
- $ b_t = $ 債券
外生變數：
- $ \tau_t = $ 稅收
- $ w_t = $ 勞動工資
- $ R_t = $ 資本租金
- $ r_t = $ 利率
- $ \rho = $ 折扣率
- $ \delta = $ 折舊率
我想使用哈密頓方法解決這個問題。問題是，有兩個狀態變數，但只有一個共態變數。
問題：
- 我是否正確地寫了預算約束？
- 如何為這個問題設置哈密頓量？
- 如何推導 $ R_t = r_t - \delta $ 在這個問題？
我是提問者。找了兩天，終於找到答案了。
訣竅是定義一個新的控制變數 $ x_t = \dot{k_t} $ . 有了這個，我們可以將原來的約束轉換成兩個新的約束：
$$ \begin{align} \dot{k_t} &= x_t \ \dot{b_t} &= w_t l_t + (R_t - \delta) k_t + r_t b_t - c_t - x_t - \tau_t \end{align} $$
現在有 $ 3 $ 控制變數 $ c_t, l_t, x_t $ , $ 2 $ 狀態變數 $ k_t, b_t $ 和 $ 2 $ 約束，所以我們應該定義兩個共態變數 $ \lambda_t, \mu_t $ . 哈密頓量是
$$ \begin{align} \mathcal{H} = & e^{-\rho t} u(c_t, 1-l_t) + \lambda_t x_t + \ & \mu_t [w_t l_t + (R_t - \delta) k_t + r_t b_t - c_t - x_t - \tau_t] \end{align} $$
剩下的只是解決哈密頓方程的標準練習。