Cobb Douglas 函式是如何推導出來的？
在經濟學和計量經濟學中，柯布-道格拉斯生產函式是生產函式的一種特殊函式形式，廣泛用於表示兩種或多種投入（特別是物質資本和勞動力）的數量與可以生產的產出數量之間的技術關係。由這些輸入產生。Cobb-Douglas 表格是由 Charles Cobb 和 Paul Douglas 在 1927 年至 1947 年間開發並針對統計證據進行測試的。
我們如何得到公式 $ f(K,L)=AK^aL^{1-a} $ ? 我們如何得到它 $ K $ 必須提升到某個因素“ $ a $ " 這必須乘以 $ L $ 因某種因素而升高“ $ 1-a $ “？這個公式的證明是什麼？我找不到這個問題的答案，我搜尋了很多。
更新。 我發現一篇文章顯示瞭如何推斷它，但我不明白一些步驟，有人可以幫助我嗎？這是連結：
在這些術語中，Cobb 和 Douglas 所做的假設可以表述如下：
- 如果勞動力或資本消失，那么生產也會消失。
- 勞動的邊際生產率與每單位勞動的產量成正比。
- 資本的邊際生產力與每單位資本的生產量成正比。
解決。因為單位勞動的產量是 $ \frac{P}L $ , 假設 2 說：
$$ \frac{∂P}{∂L} = α\frac{P}L $$
對於某個常數 α。如果我們保持 K 不變（ $ K = K_0 $ )，那麼這個偏微分方程就變成了一個常微分方程：
$$ \frac{dP}{dL} = α\frac{P}L $$
這個可分離的微分方程可以通過重新排列各項並對兩邊積分來求解：
$$ \int \frac{1}P , dP = α\int \frac{1}L , dL $$ $$ ln(P)=α*ln(cL) $$ 例如這裡，常數“c”從何而來？，然後如下： $$ ln(P)=ln(cL^α) $$ $$ P(L,K_0)=C_1(K_0)L^α $$ 在哪裡 $ C_1(K_0) $ 是積分常數，我們把它寫成 $ K_0 $ 因為它可能取決於 $ K_0 $ .
這個公式的證明是什麼？
實際上沒有證據證明生產函式應該是什麼。有無數種可能的生產函式，要發現哪一個最合適，我們需要進行一些經驗觀察。在不同的情況下，不同的生產函式是合適的。Cobb-Douglas 是流行的生產函式，但我也看到了許多其他函式。
您在下面的更新中提供的並不是證明生產必須是 Cobb-Douglas 的證明，而是證明如果我們對生產做出一些特定假設（儘管很一般，實際上可能並不總是必須成立）我們得到功能那是科布-道格拉斯。
$ ln(P)=α∗ln(cL) $ 例如這裡，常數“c”從何而來？
這 $ c $ 是積分常數。無論何時，你有不定積分，你必須添加一些常數 $ c $ 到解決方案，因為常數在微分過程中被消除，我們永遠不知道以前是否有一些常數，所以在積分之後我們總是添加 $ c $ .
在這種情況下，當你整合這個可分離的微分方程時，解實際上看起來像：
$$ \ln(P)= \alpha (\ln(L) + C) \implies\ln(P)= \alpha \ln(cL) | C= \ln(c) $$
（實際上變數甚至應該是絕對值 - 但由於該函式僅定義為非負值 $ P,L $ 和 $ K $ 我們可以省略它們）。