相同的聚合
假設如下：所有公司都是相同的，即在每個時間段 $ t $ , $ \forall i $ , $ j: F_{t}^j = F_{t}^i = F_t $ 技術是CRS。所有消費者擁有相同的資本禀賦 $ \forall i $ , $ j : k_0^i =k_0^j = k_0 $ . 所有消費者在每個時期 t 擁有相同的時間禀賦，即 $ \forall i $ , $ j : \bar{n}_t^i = \bar{n}_t^j = n $ . 所有消費者都有相同的偏好，即 $ \forall i $ , $ j : u^i = u^j = u $ 和 $ u $ 嚴格凹。
問題要求清楚地陳述並證明一個定理，該定理說這種經濟的 CE 與一個企業和一個消費者的經濟相同。
現在我在考慮基於這些假設：如果所有公司在行業內和跨行業都是相同的，並且技術是 CRS，那麼所有 HH 都具有相同的 $ k_0^i $ 和 $ U^i $ ， 和 $ U^i $ 是嚴格凹的，原來經濟的CE相當於一商一戶。通過使用第一福利定理，我們可以證明這個 CE 是帕累托最優的。
讓 $ x_i(p, w_i) $ 成為消費者 $ i $ 的（馬歇爾）需求和 $ y_j(p) $ 堅定點 $ j $ 的價格利潤最大化供給 $ p $ . 競爭均衡是價格 $ p $ 這樣 $$ \sum_{i=1}^I x_i(p, w_i(p, e_i)) = \sum_{j=1}^J y_j(p). $$
- 通過嚴格的凹度 $ u_i $ 的，消費者的需求是功能，而不是對應關係。還假設 $ y_j(p) $ 是函式。
- 可以有多種商品——例如消費品/時間（勞動力）/等。
- 代理財富 $ w_i $ 可能取決於價格 $ p $ 和禀賦 $ e_i $ —例如在Edgeworth盒子中，需求是Slutsky對捐贈基金的要求—或財富轉移 $ w_i $ 可以指定為平衡的一部分，受制於 $$ \sum_i w_i = p^T (\sum_j y_j(p) + \sum_i e_i), $$ 即總財富等於商品的總價值。
聚合消費者
在假設下 $ u_i $ 是嚴格凹的（例如，可微分），可以通過線性社會福利函式定義一個有代表性的消費者： $$ u_{rep}(x) = \max_{\sum_{i} x_i \leq x}\sum_i \frac{1}{I} u_i(x_i). $$ 然後 $ u_{rep} $ 也是嚴格凹的。讓 $ u_{rep, l} $ 表示關於商品的邊際效用 $ l $ ，然後由包絡和拉格朗日定理， $$ \frac{u_{rep, l}}{u_{rep, k}} = \frac{u_{i, l}}{u_{i, k}}, ;; \mbox{for all $i$}. $$ 以有競爭力的均衡價格 $ p $ , 的 MRS $ u_{rep} $ 在總需求 $ \sum_i x_i(p) $ 是價格的比率： $$ \frac{u_{rep, l} (\sum_i x_i(p),w_i)}{u_{rep, k}(\sum_i x_i(p), w_i)} = \frac{p_l}{p_k}. \quad() $$ 通過凹度 $ u_{rep} $ , FOC $ () $ 意味著總需求在 $ p $ 是代表消費者的最優捆綁 $ u_{rep} $ 在 $ p $ : $$ x_{rep}(p, \sum_i w_i) = \sum_i x_i(p, w_i). $$
- 正如您在問題中已經開始說的那樣，這是在凹假設下（本地）代表代理的一般構造。根據福利第一定理，CE 是帕累托。下凹 $ u_i $ 的，帕累托分配必須來自線性 SWF，這意味著存在代表性消費者。
- 在這種特定情況下，消費者獲得同等的社會權重 $ \alpha_i = \frac{1}{I} $ 因為均衡財富在代理人之間是平等的。一般來說， $ \alpha_i = \frac{1}{\lambda_i} $ 在哪裡 $ \lambda_i $ 是消費者 $ i $ 的拉格朗日乘數。尤其， $ \alpha_i $ 會增加代理 $ i $ 佔總財富的份額。
- 如果 $ u_i = u $ 是類比的，代理人之間的財富水平可能不同，人們可以簡單地採取 $ u_{rep} = u $ 微不足道。（不需要凹度假設。）
- 我相信，在評論中提到的*Gorman aggregation是一個稍微不同的背景。*戈爾曼聚合說，如果所有財富擴張曲線在所有財富分佈上都是平行的，那麼總需求是總財富的函式，並且有一個全球代表。戈爾曼聚合的概念獨立於平衡或帕累托效率。在您的問題中，當地代表代理人取決於初始 CE 分配——例如，不同的捐贈分配會導致不同的社會權重。
聚合公司
正如評論中所指出的，要匯總公司，只需使用 CRS 假設並採取 $ F_{rep} = F $ . 對於 CRS 公司來說，投入翻倍意味著產出也翻倍，但邊際產品相同。在均衡狀態下，企業仍然獲得零利潤。對於任何一個 $ J $ 企業，總產量 $ \sum_j y_j(p) $ 在相同的均衡價格下也是最優的 $ p $ .
在給定的均衡價格 $ p $ , $ p = \nabla F(y_j(p)) $ , 公司邊際產品的梯度向量 $ j $ 對全部 $ j $ . 根據 CRS/一階齊次性質， $$ \nabla F_{rep}(\sum_j y_j(p)) = \nabla F(y_1(p)) = p, $$ 它告訴你 $ y_{rep}(p) = \sum_j y_j(p) $ .
把它放在一起，給定 CE 分配 $ {(x_i(p))i, (y_j(p))j } $ 和價格 $ p $ , 分配 $ {\sum_i x_i(p), \sum_j y_j(p) } $ 和價格 $ p $ 是一個經濟體的 CE $ u{rep} $ 和一家公司 $ F{rep} $ .