“如果市場是競爭性的，資本回報率等於它的邊際產量，F′(k)F′(ķ)f’(k)減去折舊dddelta“？
考慮 Solow 模型 $ Y=(AL)^{1-a}K^a $ . 那麼每有效勞動的產出是 $ y=k^a $ 在哪裡 $ k=\frac{K}{AL} $ .
“如果市場是競爭性的，資本回報率等於它的邊際產量， $ f’(k) $ 減去折舊 $ \delta $ “？
市場競爭力如何從形式上/數學上推導出資本回報率等於其邊際產品， $ f’(k) $ 減去折舊 $ \delta $ “？這個說法似乎有道理，但我無法在數學上證明它。這裡資本回報率的正式定義是什麼？
相關方程如下。
$ \frac{d}{dt}K=sY-\delta K $ 在哪裡 $ s $ 是儲蓄率。承擔勞動力 $ L $ 和知識 $ A $ 以指數級增長 $ \delta,g $ 分別。
參考。Romer 高級宏觀經濟學，第 1 章，第 1.5 節
這在 Romer 中沒有得到證明，但這是一個眾所周知的結果。要從數學上推導出它，您需要採取以下步驟：
首先，羅默中的資本貶值，因此將給出資本的演變：
$$ k_t = k_{t-1} + i_t- \delta k_{t-1} \tag{1} $$
在哪裡 $ k_t $ 是目前的資本存量， $ k_{t-1} $ 以前的資本存量， $ i_t $ 是投資（投資等於儲蓄 $ s $ ) 增加資本和 $ \delta $ 是折舊。
接下來為了增加資本存量，生產者/投資者需要支付價格 $ P_t $ 對於那些將被保存下來並通過以下方式轉化為資本的產出 $ i_t $ . 假設我們將保持勞動力不變，生產者為此犧牲而獲得的回報是資本的邊際產品——就像當勞動力保持不變時，產出 $ y_{t+1} $ 只會因資本增加帶來的額外邊際產量而增加 $ f’(k) $ . 此外，我們可以假設在下一個時期資本家可以出售他們剩餘的資本 $ (1-\delta) $ 以及價格 $ P_{t+1} $ .
因此，投資的名義淨回報將是： $ P_{t+1}(f’(k_t) + 1 -\delta) - P_t $ 名義投資回報率由下式給出：
$$ (P_{t+1}(f’(k_t) + 1 -\delta) - P_t)/P_t \tag{2} $$
這可以簡化為：
$$ (1-\pi_t) (f’(k_t) +1-\delta) -1 \tag{3} $$
在哪裡 $ \pi_t $ 是通貨膨脹率 $ (P_{t+1}+P_t)/P_t = \pi_t $ .
生產者/投資者是否對上述投資感興趣取決於其他回報，例如債券或用於為投資融資的債務的回報。讓我們稱這些回報 $ R_t $ .
現在，如果我們假設市場是完美的，當名義資本回報率高於債券/債務回報率時，理性投資者將投資於資本 $ R_t $ ，但是隨著經濟積累越來越多的資本，資本的邊際產品隨著它變得越來越稀缺而下降（如果債券/債務的回報率更高，反之亦然），因此在競爭市場中，理性的代理人將投資直到： $$ (1-\pi_t) (f’(k_t) +1-\delta) -1 = R_t \tag{4} $$
此外，債券的名義收益率 $ R $ 還必須滿足 Fisher 方程：
$$ (1+r_t) = (1+R_t)/(1+\pi_t) \tag{5} $$
在哪裡 $ r_t $ 是實際收益率。費雪方程基本上說，實際收益率必須等於名義收益率減去通貨膨脹，因為上述函式可以近似為 $ r_t \approx R_t - \pi_t $ 使用以下事實 $ \ln(1+x)\approx x $ 為了 $ x\approx 0 $ （這來自泰勒展開式）。這必須保持，因為市場上的人們應該關心實際回報，因此他們應該期望在設定名義利率時得到通脹補償。
求解 Fisher 方程 (4) 的 $ R_t $ 並代入使資本和債券/債務之間的名義回報相等的等式（5），可以得到所需的結果：
$$ r_t = f’(k_t)- \delta \tag{6} $$
最後一個等式表明，實際資本回報將等於邊際產品減去折舊。
直覺很簡單，如果市場競爭激烈，那麼只要它提供比其他投資更高的回報，你就會投資於資本。但是，您對資本的投資越多，其邊際產品就越小，因此名義回報就越小。在某些時候，人們對資本的投資如此之多，以至於邊際產品減去折舊（必須考慮到它會降低資本的價值）正好等於實際回報。此外，如果資本開始時的回報率低於債券/債務，人們只會投資於那些，直到回報率相等。完美市場的假設很重要，因為在存在市場不完善的情況下，由 eq (4) 建立的等式可能不需要成立（或者更準確地說，它會有額外的參數，最終也會出現在結果中）。