無限視界橫向條件
這個問題是內生增長的擴展：使用 CRRA 實用程序的平衡增長路徑
然而，這個問題詢問了該問題中使用的特定概念，我認為有一個專門討論這個概念的問題會很有幫助。
我們將在這個問題中使用模型：
$ \textbf{Model:} $
$$ K_t=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^nk_t $$ 在這個模型中， $ k_t $ 由代理人選擇，並且 $ K_t=\bar{k}_t $ （所有的平均值 $ k_t $ ). 現在，代理人想要動態地最大化效用（在某些約束下）並且他們有 CRRA（恆定的相對風險厭惡）效用，所以最大化看起來像：
$$ \sum_{t=0}^\infty\beta^t\bigg(\frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg) $$ $$ s.t.;Y_t=k_t^\alpha(E_tL)^{1-\alpha} $$ $$ c_t+i_t=Y_t $$ $$ k_{t+1}=(1-\delta)k_t+i_t $$ $$ c_t,i_t\geq0 $$ $ E_tL $ 是有效勞動，其餘變數是典型的（如果需要，我可以給出它們的定義）。
模型的最後一個補充是有兩個平衡約束：
$$ E_t=\frac{K_t}{L} $$ $$ k_t=K_t $$
在答案部分，我被指示使用橫向條件和 inada 條件，以表明平衡的增長路徑是最佳的。以下是我對橫向條件的推導：
首先，我們必須推導出有限視界橫向條件。我們通過解決以下問題來做到這一點：
$$ \underset{{k_t}{t=0}^{T+1}}{max};\sum{t=0}^{T}\beta^tU(\frac{}{}) $$ $$ s.t.;k_{T+1}\geq0 $$ 對於我們的模型，這意味著： $$ \underset{{k_t}{t=0}^{T+1}}{max};\sum{t=0}^{T}\beta^t\bigg(\frac{((1+1-\delta)k_t-k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg) $$ $$ s.t.;k_{T+1}\geq0 $$ 我們的拉格朗日是：
$$ \ell(\frac{}{})=\sum_{t=0}^{T}\beta^t\bigg(\frac{((1+1-\delta)k_t-k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg)+\lambda k_{T+1} $$ 為了得到橫向條件，我們對 $ k_{T+1} $ 並使用約束。
火：
$$ \frac{\beta^T}{((1+(1-\delta))k_T-k_{T+1})^\gamma}=\lambda \qquad (1) $$ $$ \lambda k_{T+1}=0 \qquad (2) $$ $$ \lambda , k_{T+1}\geq 0 \qquad (3) $$ 解決這個系統，我們得到 $ \textbf{the finite horizon transversality condition is:} $ $$ \bigg(\frac{\beta^T}{((1+(1-\delta))k_T-k_{T+1})^\gamma}\bigg)k_{T+1}=0 $$ 現在，為了得到無限地平線橫向條件，我們再次最大化貼現效用函式，但我們將有限地平線橫向條件的極限設置為 $ T\rightarrow \infty $ 等於 0 作為約束。 這意味著我們必須解決：
$$ \underset{{k_t}{t=0}^\infty}{max};\sum{t=0}^\infty\beta^t\bigg(\frac{((1+(1-\delta))k_t-k_{t+1})^{1-\gamma}}{1-\gamma}\bigg) $$ $$ s.t.; \underset{T\rightarrow\infty}{lim};\bigg[\bigg(\frac{\beta^T}{((1+(1-\delta))k_T-k_{T+1})^\gamma}\bigg)k_{T+1}\bigg]=0 $$ 這就是我的問題所在。我們如何解決這個問題？我們可以使用拉格朗日嗎？如果是這樣，我們如何在存在限制的情況下採用一階條件？任何幫助將不勝感激！
您的困惑來自於您將 Transversality 條件視為約束，而它是最優性的條件。所以你問題末尾的表述是錯誤的。你要做的是像往常一樣求解你的模型，然後檢查解決方案（這裡是平衡增長路徑）是否滿足橫向條件。
橫向條件 (TVC) 是
$$ \lim_{t \rightarrow \infty} \beta^t u’(c_t)k_{t+1} =0 $$ 在你的模型中， $ u’(c_t) = c_t^{-\gamma} $ 和 $ c_t = (2-\delta)k_t - k_{t+1} $
所以TVC確實變成了
$$ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac {\beta^tk_{t+1}}{[(2-\delta)k_t - k_{t+1}]^{\gamma}} =0 $$ 我們想要的是檢查（唯一的）平衡增長路徑是否滿足橫向條件。在我們擁有的平衡增長道路上 $ k_{t+1} = (1+g)k_t $ 在哪裡 $ g $ 是由模型的外生參數和優化條件決定的常數。因此，當處於平衡增長路徑上時，TVC 變為
$$ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac {\beta^t(1+g)k_t}{[(2-\delta)k_t - (1+g)k_t]^{\gamma}} = \lim_{t \rightarrow \infty}\frac {(1+g)}{(1-\delta-g)^{\gamma}}\beta^t k_t^{1-\gamma}=0 $$ 常量並不重要，所以我們想要
$$ \lim_{t \rightarrow \infty}\beta^t k_t^{1-\gamma}=0 $$ 持有。請注意，如果 $ \gamma \geq 1 $ （這是文獻中的共識）條件確實成立，因為資本進入分母，我們就完成了。
對於案件 $ \gamma <1 $ ，我們希望表達式只保持在極限，即最終。“最終”意味著，如果 $ k^_s $ 是當時的資本水平 $ s<t $ 當經濟到達平衡增長路徑時，我們將有 $ k_t = k_s^\cdot (1+g)^{t-s} $ . 那麼TVC就變成了
$$ \lim_{t \rightarrow \infty}\beta^t \big[k_s^*\cdot (1+g)^{t-s}\big]^{1-\gamma}=0 $$ 再次，擺脫不依賴的東西 $ t $ ， 要得到
$$ \lim_{t \rightarrow \infty}\beta^t (1+g)^{(1-\gamma)t}=0 \implies \lim_{t \rightarrow \infty}\big[\beta (1+g)^{(1-\gamma)}\big]^t=0 $$ 因此，當且僅當 TVC 將成立
$$ \beta (1+g)^{(1-\gamma)} <1 $$ 在另一個問題中，OP已獲得
$$ 1+g = [\beta(\alpha+1-\delta)]^{\frac{1}{\gamma}} $$ 代替，我們想要
$$ \beta \Big([\beta(\alpha+1-\delta)]^{1/\gamma}\Big)^{(1-\gamma)} <1 $$ 這可以稍微簡化一下，它是對平衡增長路徑滿足橫向條件（當 $ \gamma <1 $ ）。對於其他參數的基線值，可以看出該條件不太可能得到滿足。