具有弗里施彈性的無限勞動力彈性
它來自 Hansen (1985) 的論文。
假設家庭具有效用函式 $ u(c)+v(1-h) $ 他們可以選擇工作的機率（ $ h $ ） 作為 $ \alpha $ .
有保險 $ b_t $ 給予 $ 1 $ 單位消費品和保險市場完備。
（這意味著保險價格是 $ 1-\alpha $ .)
我跳過了詳細的推導過程，這個經濟的結果表明每個家庭都有相同的消費（ $ c_1=c_2 $ ) 和資本( $ k_1’=k_2’ $ ）。
這意味著預算約束
(i) $ c_1+k_1’+(1-\delta)k_0 =wh+rk_0 -(1-\alpha)b $ 在/機率。 $ \alpha $
(二) $ c_2+k_2’+(1-\delta)k_0 =b+rk_0 -(1-\alpha)b $ 在/機率。 $ 1-\alpha $
可以減少如下： $ c+k’-(1-\delta)k_0 =\alpha wh+rk_0 $
作為貝爾曼方程形式的最大化問題：
$ V(k)=u(c)+\alpha v(1-h)+(1-\alpha)v(1)+\beta EV(k’) $
英石 $ c+k’-(1-\delta)k_0 =\alpha wh+rk_0 $
為簡單起見，標準化 $ v(1)=0 $ .
我想用弗里施彈性來證明總勞動力供給具有無限彈性。
如何在這個經濟體中推導出弗里希彈性？
我將嘗試翻譯漢森的原始論文（1985 年）的論點
讓 $ h_t = \alpha_t h $ 是總勞動力供給 $ t $ .
首先定義聚合休閒 $ \ell_t = 1 - h_t = 1 - \alpha_t h $ 這使： $$ \alpha_t = \frac{1 - \ell_t}{h} $$ 那麼瞬時效用函式可以寫成： $$ u(c_t) + \alpha_t (v(1-h)-v(1)) + v(1) = u(c_t) + v(1) + \frac{v(1-h)}{h} - \left[\frac{v(1-h)}{h}\right]\ell_t $$ 這裡是選擇變數 $ \alpha_t $ 變成 $ \ell_t $ . 我們看到這個函式是線性的 $ \ell_t $ 這給出了不同時期休閒之間的無限替代彈性。
我不是一個宏觀的人，所以我在這裡可能完全錯了。但是，查看問題的另一種方法是查看您的貝爾曼方程： $$ V(k_t) = \max_{c_t, \alpha_t, b_t} u(c_t) + \alpha_t v(1-h) + (1-\alpha_t) v(1) + \beta\left[\alpha_t V(k_{t+1}^g) + (1-\alpha_t) V(k_{t+1}^b)\right] $$ 在哪裡： $$ \begin{align*} &k_{t+1}^g = (1-\delta) k_t + w h - (1-\alpha)b_t - c_t\ &k_{t+1}^b = (1-\delta) k_t + b_t - (1-\alpha)b_t - c_t \end{align*} $$ 在這裡，我假設溢價是基於市場風險（ $ \alpha $ ) 而不是個人風險 $ \alpha_t $ ， 所以 $ \alpha $ 對於優化這個貝爾曼方程的個人來說是固定的。
讓我們證明，“一般”的總魚供應量將是 $ h_t = h $ 或者 $ h_t = 0 $ 除了一個特定的值 $ w $ . 所以讓我們假設 $ \alpha \in (0,1) $ . 假設我們已經解決了消費和保險的最優值。
找到最優值 $ \alpha_t $ 取一階條件 $ V(k_t) $ 關於 $ \alpha_t $ : $$ v(1-h) - v(1) + \beta \left[V(k_{t+1}^g)- V(k_{t+1}^b)\right] = 0 $$ 作為 $ k_{t+1}^g $ 正在增加 $ w $ 其餘的獨立於 $ w $ 最多可以有一個值 $ w $ 這個條件成立。
如果 $ w $ 大於這個值，最好設置 $ \alpha_t = 1 $ 因此總需求將躍升至 $ h_t = \alpha_t h = h $ . （我在這裡揮手作為最佳值 $ c $ 和 $ b $ 當然也可能取決於 $ w $ ).
如果 $ w $ 小於這個值，最好設置 $ \alpha_t = 0 $ ，因此總需求將躍升至 $ h_t = \alpha_t h = 0 $ .
這意味著總彈性是無限的。