跨期歐拉方程
關於上述論文中描述的跨期消費效用函式，u’(c_(t+1))/u’(c_(t))=beta^(-1)*R^(-1) 是這個等式有更基本的推理嗎？換句話說，我們是否應該接受在時間 t 較低的利率會在時間 t+1 增加消費，或者有數學證明嗎？
這個問題是基於這樣一個事實，即對這個典型的事實存在懷疑。我並不是說這是對還是錯，但如果沒有更多的動力，這種關係也許不應該成為宏觀經濟學的基礎。
這是歐拉方程的數學證明。假設該家庭在一段時間內還活著 $ t $ 和 $ t+1 $ . 我們假設家庭想要最大化終生效用，等於 $$ u(c_{t})+\beta u(c_{t+1}), $$ 在哪裡 $ \beta \in [0,1] $ term 是貼現率。家庭有一個預算約束： $$ c_{t}+s= y_{t}, \quad c_{t+1} = R s + y_{t+1}, $$ 在哪裡 $ s $ 表示儲蓄，並且 $ y_{t} $ 表示期間 $ t $ 收入。我們可以換掉 $ s $ 獲得生命週期預算約束： $$ c_{t}+R^{-1}c_{t+1} = y_{t} + R^{-1}y_{t+1}. $$ 因此，家庭面臨以下效用最大化問題： $$ \begin{align}\max_{c_{t}, c_{t+1}}u(c_{t})+\beta u(c_{t+1})\s.t. c_{t}+R^{-1}c_{t+1} = y_{t} + R^{-1}y_{t+1}\end{align} $$ 這個問題的拉格朗日量是： $$ \mathscr{L}=u(c_{t})+\beta u(c_{t+1})+\lambda (c_{t}+R^{-1}c_{t+1} - y_{t} -R^{-1}y_{t+1}). $$ 假設效用函式是“表現良好的”（遞增和凹），最大化問題的解滿足一階條件： $$ \begin{align} u’(c_{t})=\lambda,\ \beta u’(c_{t+1})=R^{-1}\lambda. \end{align} $$ 歐拉方程來自這些一階條件。我們簡單地替換 $ \beta R u’(c_{t+1})= \lambda $ 進入第一個獲得： $$ u’(c_{t})=\beta R u’(c_{t+1}), $$ 這相當於 $$ \frac{u’(c_{t+1})}{u’(c_{t})}=\beta^{-1} R^{-1}. $$
直覺是，當 $ R $ 越高，未來的消費就越“便宜”；因為儲蓄有更大的回報。因此，家庭最好用其目前的一些消費來換取未來的消費。
- 這不是一個典型的事實。這是一個程式化的理論模型的結果，如果有的話，假設不確定性消失了。
- 在包含不確定性的情況下，“歐拉公式”可以寫成（離散時間），從站在時間的家庭的角度來看 $ t $
$$ u’(c_t) =\beta R_{t},\mathbb{E} \big[ u’(c_{t+1})\mid t\big]\implies \frac{\mathbb{E} \big[ u’(c_{t+1})\mid t\big]}{u’(c_t)} = \frac{1}{\beta R_{t}} $$
現在，這怎麼能用語言來描述呢？
“如果今天的儲蓄回報增加， $ R_t \uparrow $ , 我會形成一個消費計劃 $ {c_t, c_{t+1}} $ 其中左手比率將低於回報增加前”。
我怎樣才能真正降低這個比率？
通過減少我目前的消費（導致今天更高的邊際效用）併計劃在未來增加它。
所以這個公式真正說的是，更高的利率會增加今天的儲蓄，並打算明天消費更多（由於這些更高的儲蓄，這可能是可行的）。
遇到現實，我們應該檢查數據
- 更高的利率會增加儲蓄嗎？
- 假設他們這樣做。我們是否發現了今天的利率和明天的消費之間的這種正相關關係？
如果我們不這樣做，我們就會開始思考核心理論模型中遺漏的其他力量可能很重要……OP提供的第二個連結說
低利率刺激了耐用品的消費，但擴張效應被家庭自願去槓桿的意願部分抑制。
在英語中，家庭已經有債務，他們想降低債務，這“削弱”了歐拉方程預測的效果。
現在，請注意，該研究與降低利率有關，以推動當今的消費。這是相反的效果，但來自相同的邏輯。“如果 $ R_t \downarrow $ ETC。”