離散時間的求職理論
讓我們假設有一個勞動力生活在離散時間宇宙中，並用貼現因子對未來收益進行貼現 $ b\in (0,1) $ .
我們假設這個勞動是在周期 $ t=0 $ 首先。
假設工資有一個離散的支持，定義為 $ W={4,16} $ . 也就是說，任何公司提供的任何工資都是 4 或 16。
該勞動力目前有工作，目前的工資是 $ w_t\in W $ . 如果她想在月經期間尋找另一份工作 $ t $ ，她必須承擔固定的搜尋成本 $ k\in (0,4) $ 每個時期。
如果勞動者想找工作，要麼勞動者得到與另一家公司的報價相同的工資，而且機率為 $ 1/2 $ 或者他以 1/2 的機率將另一個工資水平作為要約。
我們假設勞動力在任何時候消耗了她所有的工資收入（即扣除搜尋成本） $ t $ ，並令消費的期間效用是線性的。
我的問題是
(1)首先，在定義了狀態、控制變數和貝爾曼方程之後，我想做一個簡單的直覺，即勞動力在時期內不進行求職 $ t $ 如果 $ w_t = 16 $ 然後我想計算這個“不搜尋”策略的價值。
(2) 其次，我想說明以下策略是否是最優的。“搜尋期間 $ t $ 什麼時候 $ w_t=4 $ 並且不要在期間搜尋 $ t $ 什麼時候 $ w_t=16 $ . 我該如何解釋這是為什麼？
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我的解決方案嘗試是
勞動力想要最大化 $ E_0{ \sum_{t=0}^{\infty}b^t c_t} $
如果勞動者不想找工作，那麼 $ c_t=w $ 但如果勞動者想找工作，那麼 $ c_t=w-k $
讓 $ F(w) $ 是獨立同分佈。
尋找工作和不尋找工作的貝爾曼方程由下式給出
$ W(w)=w+bW(w) $
$ U= (w-k)+b\int_0^{\infty} \max {U, W(w)}dF(w) $
在哪裡 $ W(w) $ 是接受工資的回報 $ w $ 和 $ U $ 是搜尋工資報價的回報，收入 $ w-k $ 並在下一個週期再次採樣。
然後當我計算方程時，我得到 $ W(w)=w/(1-b) $ 這是嚴格增加 $ w $ . 所以，保留工資 $ w_R $ 這樣 $ W(w_R)=U=w_R/(1-b) $ . 那麼勞動力應該接受如果 $ w\ge w_R $ 並且不接受如果 $ w<w_R $ .
我得到了 $ w_R=(1-b)(w-k) b\int_0^{\infty} max{w_R, w}dF(w) $
在那之後我無法繼續。請幫我做這個問題。非常感謝。
$ W(4) = \max\left{4+bW(4),\frac{1}{2}\left(4 - k + bW(4)\right) + \frac{1}{2}\left(16 - k + bW(16)\right)\right} $
$ W(16) = \max\left{16+bW(16),\frac{1}{2}\left(4 - k + bW(4)\right) + \frac{1}{2}\left(16 - k + bW(16)\right)\right} = 16+bW(16) $
首先解決 $ W(16) $ 要得到 $ W(16) = \frac{16}{1-b} $ . 然後將其替換為 $ W(4) $ 解決 $ W(4) $ 作為一個函式 $ k $ 和 $ b $ .