King–Plosser–Rebelo 偏好和加法可分離
King–Plosser–Rebelo 偏好的wiki說效用函式具有乘法可分形式$$ u(C, L)=\frac{1}{1-\sigma_{c}} C^{1-\sigma_{c}} v(L) $$和“在極限情況下 $ \sigma_{c}=1 $ 由此產生的偏好規範是加法可分的”是$$ u(C, L)=\ln C_{t}+v(L) $$.
這讓我困惑了一段時間，因為我認為它應該是$$ u(C, L)=\ln C_{t}+ \ln v(L) $$. 但這可能沒什麼大不了，因為我們可以更改函式的定義 $ v $ .
然後維基繼續說“為了在平衡增長的同時具有可加性可分離的偏好，一些研究使用在休閒期之前引入包含勞動力增加技術水平的比例因子的捷徑。這種效用函式的一個例子是 $ u(C, L)=\frac{1}{1-\sigma_{c}} C^{1-\sigma_{c}}+z^{1-\sigma_{c}} \frac{(1-L)^{1+\kappa}}{1+\kappa} $ 。”
現在我真的很困惑，因為加法可分離規範似乎與 $ \sigma_{c}=1 $ , 因為我們可以同時擁有可加分離的效用和消費的跨期替代彈性 $ \sigma_{c} \neq 1 $ . 那我們為什麼不直接將通用效用函式設置為 $ u(C, L)=\frac{1}{1-\sigma_{c}} C^{1-\sigma_{c}}+v(L) $ ?
正如 Grada Gukovic 在該問題下所評論的那樣，該 wiki 是錯誤的且具有誤導性。KPR 偏好具有以下形式$$ \begin{array}{c} u\left(c_{t}, n_{t}\right)=\frac{\left(c_{t} v\left(1-n_{t}\right)\right)^{1-\sigma}-1}{1-\sigma} \quad \text { if } \quad \sigma \neq 1 \ u\left(c_{t}, n_{t}\right)=\ln c_{t}+\ln v\left(1-n_{t}\right) \quad \text { if } \quad \sigma=1 \end{array} $$.
實際上是一個常用的偏好，比如 $ u\left(c_{t}, 1-n_{t}\right)=\frac{c_{t}^{1-\sigma}-1}{1-\sigma}+\theta \frac{\left(1-n_{t}\right)^{1-\xi}-1}{1-\xi} $ 不符合均衡增長的情況除外 $ \sigma=1 $ 或者對於這種情況 $ \theta_{t} $ 正以消費增長的速度向上移動。一個簡單的方法是通過勞動力供應的顳內 FOC：$$ \theta\left(1-n_{t}\right)^{-\xi}=c_{t}^{-\sigma} w_{t} $$. 很明顯，我們只能有 $ \sigma=1 $ 使工資和消費同速增長，勞動力供給穩定。