標準增長模型中的勞動力=1
在每個標準增長模型中，我們假設勞動力=1。
我了解到這是因為勞動力的優化解決方案等於 1。
如何得出該優化解決方案？
例如，考慮標準的 CASS 增長模型。
$ max \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t u(c_t) $ 英石 $ c_t+i_t=y_t $ , $ k_{t+1}=(1-\delta)k_t +i_t $ , $ y_t=A_t k_t^\alpha (E_t L_t)^{1-\alpha} $
我嘗試使用拉格朗日但失敗了，因為效用函式中沒有勞動項。
每個 FOC 條件顯示 $ MPL=0 $ . 是對的嗎？
如果效用函式中沒有勞動負效用項，如何得出勞動的最優解？
或者只是一個簡單的答案，我們選擇了最大勞動時間（=1）的勞動沒有負效用？
形式上，您需要建立一個具有兩個不等式約束的 Kuhn-Karush-Tucker-Problem $ N_t<1 $ 和 $ N_t>0 $ . 接入消費，你得到拉格朗日
$ L = \sum\limits_{t = 0}^\infty {{\beta ^t}\ln \left( {\left( {1 - \delta } \right){K_t} + K_t^\alpha N_t^{1 - \alpha } - {K_{t + 1}}} \right)} + {\beta ^t}{\lambda _{1,t}}\left( {1 - {N_t}} \right) + {\beta ^t}{\lambda _{2,t}}\left( {0 + {N_t}} \right) $
具有相關的一階條件：
$$ \begin{gathered} \frac{{\partial L}}{{\partial {N_t}}} = {\beta ^t}\frac{1}{{\left( {\left( {1 - \delta } \right){K_t} + K_t^\alpha N_t^{1 - \alpha } - {K_{t + 1}}} \right)}}\left( {1 - \alpha } \right)\left( {K_t^\alpha N_t^{ - \alpha }} \right) - {\beta ^t}{\lambda _{1,t}} + {\beta ^t}{\lambda _{2,t}} = 0 \hfill \ {\lambda _{1,t}}\left( {1 - {N_t}} \right) = 0 \hfill \ {\lambda _{2,t}}\left( {0 + {N_t}} \right) = 0 \hfill \ \end{gathered} $$
最後兩個是互補鬆弛條件。您需要檢查以下三種情況
- 沒有約束是有約束力的（內部解決方案）或
- 下限是綁定（ $ N=0 $ ） 或者
- 上限是綁定（ $ N=1 $ )
我們依次這樣做：
- 如果不等式約束是非約束性的，則第一個條件意味著
$$ \begin{gathered} \frac{{\partial L}}{{\partial {N_t}}} = {\beta ^t}\frac{1}{{\left( {\left( {1 - \delta } \right){K_t} + K_t^\alpha N_t^{1 - \alpha } - {K_{t + 1}}} \right)}}\left( {1 - \alpha } \right)\left( {K_t^\alpha N_t^{ - \alpha }} \right) = 0\ \Rightarrow \frac{1}{{N_t^\alpha }} = 0 \ \Rightarrow {N_t} = \infty \end{gathered} $$
這是一個矛盾。
- 接下來，如果 $ N_t=0 $ ， 然後 $ \lambda_{1,t}=0 $ 和 $ \lambda_{2,t}=-\infty $ . 乘數必須是正數，因此這不是解決方案。
- 最後，如果 $ N_t=1 $ ， 然後 $ \lambda_{2,t}=0 $ 和 $ {\lambda {1,t}} = \frac{1}{{\left( {\left( {1 - \delta } \right){K_t} + K_t^\alpha - {K{t + 1}}} \right)}}\left( {1 - \alpha } \right)\left( {K_t^\alpha } \right) > 0 $ 這是解決方案。
這正式證明了在沒有勞動力負效用的情況下，將選擇最大可行量。