勞動力市場：簡單的宏觀經濟模型
我剛開始為即將到來的入學考試複習宏觀經濟模型，我不確定我在這個應用程序中的答案：
假設一個國家的經濟有一個具有以下生產函式的代表性企業 $ y = f(N) = 2N - (1/2)N^2 $ 知道 $ N $ 是就業規模。
**1)**寫出這家公司的利潤，知道商品的價格是 $ P $ 工資是 $ W $ .
**2）**確定對勞動力的需求，這是該公司的最佳規模。評論你的結果。
**3)**從最後一個問題，推導出最優生產規模，即該企業生產的產品的最優供應量。評論你的結果。
**4)**假設勞動力總供給是外生的，由下式給出： $ N^o = (W/P) $ . 定義勞動力市場均衡的概念，併計算該經濟體的均衡實際工資。
**5)**在這個一般均衡下，計算總產量（以數量計）、總實際工資、總實際利潤（按價格縮減的利潤），並評論這個經濟體的分配情況。
誠然，我在宏觀經濟建模方面仍然很薄弱，我還沒有找到足夠好的來源，所以我所有的知識都來自網路上分散的來源。
但這是我的嘗試：
**1)**我知道利潤是
$$ \pi = Revenue -Cost \equiv P.y - W.N $$ 其中 P 是商品的價格，y 是生產數量，W 是工資，N 是僱員人數。 由於產生的數量是作為 NI 的函式給出的，因此將該表達式重寫為：
$$ P.y - W.N \equiv P. 2N-(1/2)N^2 - W.N $$ 這可以簡化為：
$$ \pi = P.N(\dfrac{-N+4}{2}-w) $$ 不確定這是否是他們的意思，但我停在這裡。
**2）**我在某處讀到，當達到最佳勞動力需求時 $ Marginal Benefit = Marginal Cost $
邊際收益定義為 $ Marginal Product \times Price $ 所以在我們的例子中，它應該是生產函式（邊際產品）乘以價格的導數，或者 $ MB = (2-N)\times P $ 我讀過邊際成本是實際工資 $ \dfrac{W}{P} $
所以在平衡 $ (2-N)P = \dfrac{W}{P} $ 經過一些計算我們得到
$$ N=-\dfrac{W-2P^2}{P^2} $$這應該是均衡的勞動力需求。 **3）**由於我們發現 N 是（假設）對勞動力的最佳需求，並且商品的生產是 N 單獨的函式，我認為我們可以通過輸入表達式來獲得最佳生產規模 $ N $ 我們剛剛在生產函式中發現 $ y $ 那是給我們的。經過長時間的計算，我得到：
$$ y=-\dfrac{W^2}{2P^4}+2 $$ **4）**當勞動力需求等於勞動力供給時，獲得均衡的實際工資。使用勞動力供給的外生表達式，我們得到了這個意思：
$$ \dfrac{W}{P}=-\dfrac{W-2P^2}{P^2} $$ 當解決得到
$$ p=1, w=1 $$因此實際工資也等於 $ 1 $ **5）**替換我們在之前的問題中得到的各種表達式中的值：
$$ N=1 $$ $$ y=\dfrac{3}{2} $$ $$ payroll=\dfrac{W}{P}.N = 1 $$ $$ \pi =\dfrac{1}{2} $$ 現在，如果我有任何正確的答案，我會感到非常驚訝，因為我對此很陌生，所以我很感激對我的答案的一些回饋。另外，我希望對答案的評論提供一些幫助，尤其是關於分發的評論。
謝謝。
求勞動力需求，求解企業利潤最大化問題：
$$ \begin{eqnarray*} \max_N & \ P(2N - 0.5N^2) - WN\end{eqnarray*} $$ 區分目標 $ N $ 並將其設置為 0 會產生勞動力的需求函式： $$ \begin{eqnarray*} N^d = 2 - \frac{W}{P}\end{eqnarray*} $$ 相應的輸出供給是 $$ \begin{eqnarray*} Y = f\left(2 - \frac{W}{P}\right) = \left(2 - \frac{W}{P}\right)\left(1 + \frac{W}{2P}\right) = 2 - \frac{1}{2}\left(\frac{W}{P}\right)^2\end{eqnarray*} $$ 鑑於勞動力供給為
$$ \begin{eqnarray*} N^s = \frac{W}{P}\end{eqnarray*} $$ 勞動力市場的均衡發生在哪裡 $ N^d = N^s $ . 解決它，我們得到均衡就業、實際工資、產出、利潤如下：
$$ \begin{eqnarray*} N^* & = & 1 \ \left(\frac{W}{P}\right)^* & = & 1 \ Y^* & = & 1.5 \ \pi^* & = & 0.5 \end{eqnarray*} $$