對數線性化 CES 需求
我一直在嘗試對從標準的兩個良好的 CES 效用最大化問題得出的需求函式進行對數線性化。那是：
最大化 $$ \begin{eqnarray} U(h,c)= \left(G_1^{\rho}+ G_2^{\rho} \right)^{1/\rho} \end{eqnarray} $$ 服從： $$ \begin{eqnarray} Y = G_1 + pG_2 \end{eqnarray} $$
我將第一個商品的價格標準化為 1。從這個最大化可以得出，商品 2 的需求可以寫成： $$ \begin{eqnarray}\label{VAR} G_2 = \frac{ p^{\frac{1}{\rho-1}}Y}{ 1 + p^ {\frac{\rho}{\rho-1}} } \end{eqnarray} $$ 當我嘗試對這個方程進行對數線性化時，我不確定如何使用分母。到目前為止，我有這個：
$$ \begin{eqnarray} \ln G_2 = \frac{1}{\rho-1} \ln p+ \ln y - \ln { (1 + p^ {\frac{\rho}{\rho-1}}) } \end{eqnarray} $$
$$ \begin{eqnarray} \ln G_2^* +\frac{1}{G_2^}(G_2-G_2^) = \frac{1}{\rho-1} \ln p^* +\frac{\frac{1}{\rho-1}}{p^}(p-p^)
- \ln y^* +\frac{1}{y^}(y-y^) - ??? \end{eqnarray} $$ 然而，我沒有用總和和指數對最後一項進行對數線性化。我試圖在網上找到類似的對數線性化，但我只能找到對 CES 函式的生產函式進行對數線性化的論文，這對我的問題沒有幫助。
這是我的猜測。
讓我們使用符號 $$ \tilde x_t \approx \ln(x_t) - \ln(x) \approx \dfrac{x_t - x}{x}. $$ 如果我們在兩邊都記錄日誌，我們會得到： $$ \ln(G_t) = \frac{1}{1 -\rho} \ln(p_t) + \ln(y_t) - \ln(1 + p_t^{\frac{\rho}{\rho-1}}) $$ 減去穩態得到： $$ \tilde G_t = \frac{1}{1 - \rho} \tilde p_t + \tilde y_t - \left[\ln(1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}) - \ln(1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}})\right] $$
最後一項的泰勒展開式給出： $$ \begin{align*} \ln(1 + p_t^{\frac{\rho}{\rho - 1}}) - \ln(1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}) &\approx \frac{1}{1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}}\frac{\rho}{\rho - 1}p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}\frac{(p_t- p)}{p},\ &\approx \frac{p^{\frac{\rho}{\rho- 1}}}{1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}} \frac{\rho}{\rho - 1} \tilde p_t \end{align*} $$ 所以我們得到： $$ \tilde G_t \approx \left(\frac{1}{1 - \rho}- \frac{p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}}{1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}} \frac{\rho}{\rho - 1} \right) \tilde p_t + \tilde y_t,\ = \left(\frac{1}{1 - \rho}- \frac{G}{Y} \frac{\rho}{\rho - 1} \right) \tilde p_t + \tilde y_t,
$$