對數線性化 EUler 方程
我正在嘗試解決一個要求按照新凱恩斯模型的歐拉方程對數線性化的問題：
$$ C^{-\sigma}t=\beta E_tC^{-\sigma}{t+1}(1+i_t)/(1+\pi_{t+1}). $$
解決方案如下：$$ \tilde{C}t=\beta E_t\tilde{C}-\frac{1}{\sigma}(i_t-E_t\tilde{C}{t+1}-\rho). $$
並且在給定的穩態下也存在以下關係 $ 1=\beta(1+r) $ , $ \beta=(1+\rho)^{-1} $ 和 $ ln1=ln \beta+r $ 是什麼導致 $ r=-ln\beta=\rho $ .
誰能向我解釋一下日誌線性化是如何完成的？我知道第一步是取一切的對數（並減去常數穩態參數的對數）或使用泰勒近似。但是我有一個問題 $ (1+i_t) $ 和 $ (1+\pi_{t+1}) $ 條款。此外，為什麼 $ 1=\beta(1+r) $ 保持穩定狀態？注意 $ i $ 表示名義利率。
謝謝你。
更新：所以下面我將給出我的解決方案路徑。我不確定這樣做是否合適： $$ C^{-\sigma}t=\beta E_tC^{-\sigma}{t+1}(1+i_t)/(1+\pi_{t+1}) $$ $$ lnC^{-\sigma}t=ln\beta+lnE_t(C^{-\sigma}{t+1})+ln(1+i_t)-ln(1+\pi_{t+1})\qquad (1) $$ 減去 (1) 與$$ lnC^{-\sigma}=ln\beta+ln(C^{-\sigma})+ln(1+i)-ln(1+\pi) $$產量$$ \tilde{C}t=E_t(\tilde{C}{t+1})-\frac{1}{\sigma}(\tilde{(1+i_t)}-\tilde{(1+\pi_{t+1})}) $$並且因為 $ \tilde{1+i_t}=ln(1+i_t)-ln(1+i)=i_t-i $ 和 $ \tilde{1+\pi_{t+1}}=\pi_{t+1}-\pi $ : $$ \tilde{C}t=E_t(\tilde{C}{t+1})-\frac{1}{\sigma}(i_t-i+E\pi_{t+1}-\pi)\qquad(2) $$ $ i $ 是穩定狀態下的名義利率，可以定義為 $ i=r+\pi $ 和 $ r=\rho $ : $$ \tilde{C}t=E_t(\tilde{C}{t+1})-\frac{1}{\sigma}(i_t-\rho+\pi-E\pi_{t+1}-\pi)\qquad(3) $$
引導我們得出最終的等式： $$ \tilde{C}t=\beta E_t\tilde{C}-\frac{1}{\sigma}(i_t-E_t\tilde{C}{t+1}-\rho). $$
正如您所說，第一步是記錄雙方的對數，然後您只是應用對數規則並重新排列。
例如： $$ \ln (XZ)=\ln X + \ln Z $$ $$ \ln X/Z= \ln X - \ln Z $$ $$ \ln X^a = a \ln X $$ $$ \ln 1 = 0 $$
這裡還應用了一個接近於零的重要近似值，這些近似值是：
$ \ln(1+x) \approx x $ 為了 $ x $ 接近於零（這適用於通常只有幾個百分點的利率和通貨膨脹）。
此外，泰勒近似實際上是一種如何線性化關係的不同方式，所以雖然它是線性化的一個例子，但它不是必要的對數線性化。事實上結果 $ \ln(1+x) $ 基於泰勒近似，但它不是對數線性化，因為僅在此處應用對數不會產生對數線性表達式。
使用這些規則，您可以證明上述所有解決方案。我將把第一個方程留給你作為練習，對於其他方程，你可以看到：
對數線性化 $ 1=\beta(1+r) $ 給出： $ \ln 1= \ln (\beta(1+r)) $ 簡化後給我們 $ 0= \ln \beta + \ln (1+r) $ 或者 $ \ln \beta = -r $
從第二個方程 $ \beta=(1+\rho)^{-1} $ 對數線性化給了我們 $ \ln \beta =-\ln(1+\rho) \implies \ln \beta = -\rho $ . 因此你得到的平等 $ -r=\ln \beta = -\rho $ 然後你可以將所有邊乘以 -1 來移動等式中間的減號。
這 $ 1=\beta (1+r) $ 來自理性人希望今天和未來消費的邊際效用相等的事實，所以實際上這個等式正確地寫成：
$$ u_t^{\prime} = \beta (1+r) u_{t+1}^{\prime} $$
可以重寫為： $ u_t^{\prime} / u_{t+1}^{\prime} = \beta (1+r) $ 而如果 $ u_{t}^{\prime}= u_{t+1}^{\prime} $ 你得到的結果是 $ 1=\beta (1+r) $ . 這又是因為在穩定狀態下，您希望消費的邊際效用在每個時期都相等。