實際匯率的對數線性化
我對如何記錄實際匯率的表達式線性化有疑問。我在幾篇論文中讀到他們使用替換來表達它。我一直無法找出他們使用什麼替代品，所以這就是我來這裡尋求幫助的原因。
例如，假設一價定律成立：
$$ \begin{gather} P_{H,t}=S_tP^_{H,t} \quad \quad \text{and} \quad \quad P^{F,t}=\frac{P{F,t}}{S_t} \end{gather} $$
讓 $ Q_t=\frac{S_tP^_t}{P_t} $ 是實際匯率和 $ T_t=\frac{S_tP^{F,t}}{P{H,t}} $ . 此外，設 CPI 為
$$ \begin{gather} P_t=[aP^{1-\theta}{H,t}+(1-a)P^{1-\theta}P{F,t}]^{\frac{1}{1-\theta}} \end{gather} $$
我知道對數線性版本 $ Q_t $ 是（誰）給的
$$ \hat{Q_t}=(2a-1)\hat{T}_t $$
有人可以告訴我如何獲得後一種表達嗎？
非常感謝你。
讓 $ P $ 是本國的 CPI， $ P^* $ 外國的CPI， $ P_H $ 和 $ P_F $ 以本國貨幣表示的國內外中間產品的價格，以及 $ P^_H $ 和 $ P^_F $ 是用外幣表示的國內和國外中間產品的價格。
實際匯率的對數線性版本由下式給出
$$ \begin{gather} \hat{Q}_t = \hat{S}_t + \hat{P}^*_t - \hat{P}_t \end{gather} $$
我們知道本國和外國的 CPI（對數線性版本）由下式給出
$$ \begin{gather} \hat{P}t = a\hat{P}{H,t} + (1-a)\hat{P}{F,t} \quad \quad \hat{P}^_t = a\hat{P}^{F,t} + (1-a)\hat{P}^*_{H,t} \end{gather} $$
我們只需要在實際匯率的對數線性版本中替換它：
$$ \begin{gather} \hat{Q}t = \hat{S}t + \hat{P}^_t - \hat{P}_t \ = \hat{S}_t + a\hat{P}^{F,t} + (1-a)\hat{P}^*{H,t} - a\hat{P}{H,t} - (1-a)\hat{P}{F,t} \ = \hat{S}t - a(\hat{P}^*{H,t} - \hat{P}^_{F,t}) + \hat{P}^{H,t} + a(\hat{P}{F,t}-\hat{P}{H,t}) - \hat{P}{F,t} \ = \hat{S}t - a\hat{T}^_t + \hat{P}^{H,t} + a\hat{T}t - \hat{P}{F,t} \ = \hat{S}t + \hat{P}^*{H,t} - \hat{P}_{F,t} + a(\hat{T}t - \hat{T}^*t)\ = \hat{P}{H,t} - \hat{P}{F,t} + a(\hat{T}_t - \hat{T}^_t) \quad \text{given that the law of one price holds}\ = -\hat{T}_t + a(\hat{T}_t - \hat{T}^_t)\ = -\hat{T}_t + 2a\hat{T}_t \quad \text{given that the law of one price holds, $\hat{T}^*_t = -\hat{T}_t$}\ \hat{Q}_t = (2a-1)\hat{T}_t \end{gather} $$