宏觀經濟學/微分方程
有人可以幫我解決以下微分方程：
$ \dot L(t) = nL(t) + b $ 和 $ n>0 $ , $ b>0 $ , $ L(O)∈R $
$ \dot L(t)= $ 的時間導數 $ L(t) $
注意：而不是“ $ L $ “，我要給函式命名” $ y $ “因為我更習慣了。
對於一個函式 $ y = y(t) $ 我們有微分方程
$$ \begin{equation} y’ = ny + b \end{equation} $$
我們把方程寫成形式 $ y’ + p(t)y = q(t) $ 通過減去 $ ny $ 從雙方
$$ \begin{equation} y’-ny=b \end{equation} $$
注意方程現在有形式 $ y’ + p(t)y = q(t) $ 和 $ p(t) = -n, q(t) = b $ . 我們將方程乘以積分因子 $ \mu = e^{\int p(t) dt} = e^{\int - n dt} = e^{-nt} $ .
$$ \begin{equation} e^{-nt} y’ - n e^{-nt} y = b e^{-nt} \end{equation} $$
有了這個，我們可以通過乘積規則將左側寫成導數
$$ \begin{equation} \frac{d}{dt}[e^{-nt} y] = b e^{-nt} \end{equation} $$
Ï整合雙方
$$ \begin{equation} e^{-nt} y = \int b e^{-nt} dt \end{equation} $$
$$ \begin{equation} e^{-nt} y = - \frac{b}{n} e^{-nt} + C \end{equation} $$
隔離 $ y, $ 一般的解決方案是
$$ \begin{equation} y(t) = - \frac{b}{n} + C e^{nt} \end{equation} $$
以更優雅的形式編寫
$$ \begin{equation} y(t) = C e^{nt} - \frac{b}{n} \end{equation} $$
如果我們有一個初始條件 $ y(0) = y_{0}, $ 我們可以找到 $ C. $
計算方程 $ t=0 $
$$ \begin{equation} y(0) = C e^{n \cdot 0} - \frac{b}{n} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} y_0 = C - \frac{b}{n} \end{equation} $$
隔離 $ C $
$$ \begin{equation} y_0 + \frac{b}{n} = C \end{equation} $$
因此，初始值問題的解是
$$ \begin{equation} y(t) = (y_0 + \frac{b}{n}) e^{nt} - \frac{b}{n} \end{equation} $$
第三種可能的方法，也許是讓生活更輕鬆。
方程
$$ \dot L(t) = nL(t) + b;;;; ;;;;;;;; ;;;;;;;; ;;(1) $$
是一階線性（非齊次）微分方程，它是以下形式的方程：
$$ y’+a(t)y=g(t);;;; ;;;; a\in \mathbb{R};;;; ;;;;;;(2) $$ 在哪裡 $ g(t) $ 和 $ a(t) \in C^0(I), I \subset \mathbb{R} $ , 是已知函式。
對於這類方程，有一個明確的解公式。公式為：
$$ y(t)=e^{-A(t)}[c_1+\int g(t) e^{A(t)}, dt];;;;;;;;(3) $$
在哪裡
$$ A(t)=\int a(t), dt $$
安克 $ c_1 $ 是一個任意常數，因此公式 $ (3) $ , 變化 $ c_1 $ 在 $ \mathbb{R} $ , 給出無限解 $ (2) $ ，在這個意義上它被稱為一般解決方案。
我們可以立即應用這個公式來找到解決方案 $ (1) $ ， 在哪裡
$$ a(t) =-n, g(t)= b $$.
解方程的更好方法是口味問題，如果一個人更喜歡回憶公式，有犯錯的風險，或者如果一個人更喜歡使用積分因子遵循整個過程。
像往常一樣，訴諸初始條件，我們得到了特定的解決方案。