利潤函式的最大值：積分函式的偏導數？
我正在努力在新凱恩斯模型中最大化以下利潤函式。這裡有 FOC。
$$ \frac{\delta}{\delta Y_t(i)} P_tY_t- \int_0^1 P_t(i)Y_t(i)di = \frac{\delta}{\delta Y_t(i)} P_t\left[\int_0^1 {Y_t(i)}^{\frac{\epsilon-1}{\epsilon}} di\right]^{\frac{\epsilon}{\epsilon-1}} - \int_0^1 P_t(i)Y_t(i)di = 0 $$
$ Y_t(i) $ 是對中間商品的需求，並且 $ Y_t $ 是對最終商品的需求。解決方案應該是：
$$ \frac{\epsilon}{\epsilon -1} P_t \frac{Y_t}{Y_t^\frac{\epsilon -1}{\epsilon}} \frac{\epsilon -1}{\epsilon} Y_t(i)^{-\frac{1}{\epsilon}} = P_t(i) $$
我試圖應用萊布尼茨積分規則。但是，我無法理解在對積分函式求導時如何表現。
任何人都可以向我解釋步驟（和數學理論）以獲得正確的解決方案嗎？
預先感謝您的耐心和支持。
您實際上是在詢問 CES 生產函式的邊際產品。你的第二個方程的 LHS 是 $ P * dY/dY(i) $ 在哪裡 $ Y_t $ 是 CES 的聚合器 $ Y_t(i) $ .
讓我們定義 $ \rho = \frac{\epsilon-1}{\epsilon} $ 以便 $ Y=[\int Y(i)^\rho]^ {\frac{1}{\rho}} $ .
現在應用鍊式法則得到導數（也可在任何微課本中查找）：
$ \partial Y/\partial Y(i) = \frac{1}{\rho} (\int Y(i) di) ^ \left(\frac{1}{\rho}-1\right) \rho Y(i)^{(\rho-1)} $
取消一些條款，你就有了答案。