多元隱式微分 (Samuelson, 1948)
我正在研究 Paul Samuelson 的“收入確定的簡單數學”（來自 APEC-CAEN 的名為“Macroeconomia (artigos selecionados)”的書。這是本書的第 1 章，第 13 頁），我是在理解微積分文章時遇到一些麻煩。
首先，薩繆爾森陳述了收入方程：
$ (1) $ $ Y = C (Y - \bar{W}) + \bar{I} + \bar{G} $
在哪裡 $ Y $ 對應收入， $ C $ 對應消費， $ \bar{W} $ 對應於稅收（實際上，我不完全知道為什麼字母 W 被選為稅收而不是更常見的字母 T 的奇怪原因）， $ \bar{I} $ 對應於投資和 $ \bar{G} $ 對應於政府支出）。為簡化起見，最後三個變數被視為常數。
然後， $ Y $ 區別於 $ \bar{G} $ （我認為這是一種隱含的區分，形式為 $ \frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y} $ ):
$ (2) $ $ \frac{dY}{d\bar{G}} = \frac{1}{1 - C’(Y - \bar{W})} $
但我的疑問出現在以下段落中：
$ (3) $ $ \frac{dY}{d\bar{(-W)}} = \frac{C’(Y - \bar{W})}{1 - C’(Y - \bar{W})} = \frac{dY}{d\bar{G}} - 1 $
我意識到 Samuelson 做了與第 2 步相同的隱式微分，我可以想像
$ \frac{C’(Y - \bar{W})}{1 - C’(Y - \bar{W})} = \frac{1}{1 - C’(Y - \bar{W})} * C’(Y - \bar{W}) = \frac{dY}{d\bar{G}} * C’(Y - \bar{W}) $
但是，如何 $ \frac{dY}{d\bar{G}} * C’(Y - \bar{W}) $ 轉向 $ \frac{dY}{d\bar{G}} - 1 $ ? 我的意思是，這是怎麼做到的 $ -1 $ 替換乘法項 $ C’(Y - \bar{W}) $
我試圖得到它，但沒有成功。我希望你能對此有所了解。
我們從等式開始： $$ Y = C(Y - \overline{W}) + \overline{I} + \overline{G} $$ 首先，我們完全區分 $ (-\overline{W}) $ （考慮到 $ Y $ 是一個函式 $ \overline{W} $ , $ \overline{I} $ 和 $ \overline{G} $ ) $$ dY = C’(Y - \overline{W})dY + C’(Y - \overline{W}) d(-\overline{W}). $$ 帶來 $ dY $ 一方面的條款給出： $$ (1 - C’(Y - \overline{W}))dY = C’(Y - \overline{W}) d(-\overline{W}),\ \to \frac{dY}{d(-\overline{W})} = \frac{C’(Y - \overline{W})}{1 - C’(Y - \overline{W})} $$ 接下來，我們完全區分 $ \overline{G} $ : $$ dY = C’(Y - \overline{W})dY + d \overline{G} $$ 再次收集條款給出： $$ (1 - C’(Y - \overline{W})) dY = d \overline{G}\ \to \frac{dY}{d \overline{G}} = \frac{1}{1 - C’(Y - \overline{W})} $$ 所以： $$ \begin{align*} \frac{dY}{d \overline{G}} - 1 &= \frac{1}{1 - C’(Y - \overline{W})} - 1,\ &=\frac{1 - 1 +C’(Y - \overline{W})}{1 - C’(Y - \overline{W})},\ & = \frac{C’(Y - \overline{W})}{1 - C’(Y - \overline{W})},\ &= \frac{dY}{d(- \overline{W})} \end{align*} $$