新凱恩斯菲利普斯曲線：對數線性化
我在對以下方程進行對數線性化時遇到了一些問題：
這就是新凱恩斯菲利普斯曲線（NKPC）。對數線性化後的預期結果是：
這在本文中由方程 46 描述。
但是，我沒有得到這個結果。現在，我剛剛進行了對數轉換，但我沒有進行泰勒展開，我強加了：
這個問題是由於我對數線性化的方式（不考慮泰勒展開）造成的嗎？還是有其他問題？
$$ Not a full solution $$ 與名稱所暗示的不同，對數線性化不涉及對等式中的**各個項進行對數。**否則，等式 t 將不成立。一般的做法是將雙方的對數作為一個整體，然後對這兩個對數函式進行泰勒展開。
但是，這裡似乎沒有必要。您可以利用近似值 $ X_t \approx X(1-x_t) $ ， 在哪裡 $ X $ 是的穩態值 $ X_t $ ， 和 $ x_t=\log(\frac{X_t}{X}) $ 而且，正如佩德羅在他的評論中所建議的那樣，你然後插入 $ X(1+x_t) $ 無論在哪裡 $ X_t $ 出現在您的方程式中。在許多情況下，這會為您提供一個線性方程 $ x_t $ （和 $ y_t, z_t $ ， ETC。）。因為這是你想要的，所以你已經完成了。只有當這不起作用時，您才需要使用泰勒展開。
簡單的例子： $$ \alpha Y_t \frac{W_t}{P_t}\approx \alpha Y \frac{W}{P}(1+y_t)(1+w_t)(1+p_t)^{-1}\approx \alpha Y \frac{W}{P}(1+y_t+w_t-p_t) = \alpha Y \frac{W}{P}(1+y_t+mc_t) $$ 在最後一步我們使用 $ (1 + y_t)(1+w_t)\approx (1+y_t+w_t) $ ， 作為 $ y_t $ 和 $ p_t $ 是“小”和混合術語 $ y_t p_t $ 因此更小，因此被認為可以忽略不計。類似的規則適用於劃分。
請注意，在您的範例中，使用了更多“技巧”。它的書寫方式， $ \pi $ 似乎是（淨）通貨膨脹率（比如 0.02）。如果是這樣的話，這些術語已經是線性的 $ \pi_t $ ，所以那裡沒有什麼可以對數線性化的。此外，作者似乎也拋棄了通貨膨脹的混合術語，因為 $ \pi_t \pi_t \approx 0 $ . 所以，例如，你得到 $$ \Psi \pi_t(1+\pi_t) \approx \Psi \pi_t $$ 一旦你為整個方程中的所有項實現了這種方法，你可以通過將所有小型大寫字母設置為零來獲得穩態關係。然後，您可以通過除法或乘法（或兩者）從方程中刪除穩態。剩下的就是偏離穩態的關係。在您的範例中，您仍然需要找出原因 $ y_t $ 消失了，什麼 $ \delta $ 代表。