非平凡的穩態
考慮具有非彈性勞動力供給、完全折舊、對數效用和 CRS 技術的增長模型，貝爾曼方程定義如下： $$ V(k)=\max(log(k^\alpha-k’)+\beta V(k’)) $$ 英石$$ k\geq0\ \text{and}\ \theta k^\alpha-k’\geq0 $$
作為猜測，我使用了通常的 $ V(k)=a+bln(k) $ 代替貝爾曼並推導出 $ k’=\frac{k^\alpha\beta b}{1+\beta b} $ . 從這裡我發現 $ k_{ss}=(\frac{1+\beta b}{\beta b})^{1/(\alpha-1)} $ 稱為非平凡的SS
這是第一個SS，另一個是 $ k_{ss}=0 $
我的問題是我們如何使用策略函式來證明系統收斂到非平凡的穩定穩態給定任何 $ k_0 > 0 $
讓我們猜測值函式的形式是 $ a + b \ln(k) $ .
然後代入 $ V(k) = a + b \ln(k) $ 在貝爾曼方程中給出： $$ a + b \ln(k) = \max_{k’}\left(\ln(k^\alpha - k’) + \beta(a + b \ln(k’)\right) $$ 一階條件由下式給出： $$ \begin{align*} &\frac{-1}{k^\alpha - k’} + \beta b \frac{1}{k’} = 0,\ \to & k’ = \beta b (k^\alpha - k’),\ \to & k’ = \frac{\beta b}{1+ \beta b} k^\alpha \end{align*} $$ 如果我們將其代入貝爾曼方程的目標函式，我們將獲得以下恆等式： $$ \begin{align*} a + b \ln(k) &= \ln\left(k^\alpha - \frac{\beta b}{1 + \beta b}k^\alpha\right) + \beta\left(a + b \ln\left(\frac{\beta b}{1 + \beta b}k^\alpha\right)\right),\ &= (\alpha + \beta b \alpha) \ln(k) + \ln\left(1 - \frac{\beta b}{1 + \beta b}\right) + \beta a + \beta b \ln\left(\frac{\beta b}{1 + \beta b}\right) \end{align*} $$ 因為這適用於所有人 $ k (> 0) $ 我們可以使兩邊的係數相等： $$ \begin{align*} a &= \ln\left(\frac{1}{1 + \beta b}\right) + \beta a + \beta b \ln\left(\frac{\beta b}{1 + \beta b}\right),\ b & = \alpha + \beta b \alpha \end{align*} $$ 第二個給出了一個封閉的形式表達式 $ b $ : $$ b = \frac{\alpha}{1 - \beta \alpha}. $$ 然後將其代入一階條件得到： $$ \begin{align*} k_{t+1} &= \frac{\beta \frac{\alpha}{1 - \beta \alpha}}{1 + \beta \frac{\alpha}{1 - \beta \alpha}}k_t^\alpha,\ &= \beta \alpha k^\alpha_t \tag{1} \end{align*} $$
這表明： $$ k_{t + 1} > k_t \iff \beta \alpha k_t^\alpha > k_t \iff k_t < (\beta \alpha)^{\frac{1}{1 - \alpha}} $$ 因此，只要資本存量上升 $ k_t $ 在下面 $ (\beta \alpha)^{\frac{1}{1 - \alpha}} $ 如果它會減少 $ k_t $ 它高於這個門檻值。
根據上面的動力學方程（1），看起來 $ k = 0 $ 也是一個穩定的狀態。然而，對於 $ k = 0 $ ，一階條件不滿足，實際上不存在價值函式。無論如何，對於 $ k_t $ 非常接近，它的價值將低於 $ (\beta \alpha)^{\frac{1}{1 - \alpha}} $ 所以資本存量應該增加到唯一的穩定狀態。