最優住宅區位和多元 Frechet 分佈
我正在閱讀 Chang-Tai Hsieh 和 Enrico Moretti 的論文“住房約束和空間錯配” 。
首先他們定義效用函式
$$ \ \ V_{ji}=\varepsilon_{ji}\frac{W_{i}Z_{i}}{P_{i}^\beta}, $$
在哪裡 $ i $ 表示城市和 $ j $ 表示個人。
並且假設 $ \varepsilon_{ji} $ 遵循聯合多元分佈，使得 $ F_{g}(\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_{N})=\exp(-\sum_{i=1}^{N}\varepsilon_{i}^{-\theta}) $
然後突然論文顯示 $$ (10) \ \ W_{i}=V\frac{P_{i}^{\beta}L_{i}^{\frac{1}{\theta}}}{Z_{i}}, $$
在哪裡 $ V $ 是所有城市的平均工人效用。
我查找了 Frechet 分佈的基本屬性。如果分佈函式是 $ F(x)=\exp(-x^{-\theta}) $ , 那麼均值是 $ \Gamma(1-\frac{1}{\theta})=\int_{0}^{\infty}x^{-\frac{1}{\theta}}\exp(-x)dx $ . 但我不清楚等式 (10) 與此屬性的關係。對於下一步的任何提示或建議將不勝感激。
考慮一個隨機變數向量 $ Z = (Z_1,…,Z_J) $ . 我們假設每個 $ Z_j $ Frechet 是分佈式的
$$ Z_j \sim F(z_j) = \exp(-z_j^{-\theta}), $$
並且它們是相互獨立的，使得 $ F_Z(z) = \prod_{j=1}^J \exp(- z_j^{-\theta}) = \exp(-\sum_j z_j^{-\theta}) $ . 此外，眾所周知，
$$ \mathbb E[Z_j] = k(\theta) = \Gamma\left( 1-\frac{1}{\theta} \right). $$
鑑於此設置，我們具有以下屬性（此處未經證實）：
- 當你縮放 $ Z_j $ 有一個常數 $ A_j $ 分佈變為 $ A_jZ_j \sim F(z) = \exp(-A_j^{\theta}Z_j^{-\theta}). $
- 的機率 $ i = \arg \max_j {A_jZ_j} $ 給出為
$$ \pi_i = \frac{A_i^\theta}{\sum_j A_j^\theta }. $$
我們將使用這些屬性來推導您正在閱讀的文本中的等式 (10)。首先我們定義效用函式 og agent $ h $ 替代品 $ j $ 作為
$$ U_{jh}=Z_{jh}\frac{W_{j}Q_{j}}{P_{j}^\beta}, $$
我們注意到縮放常數 $ A_j = {W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta} $ . 這意味著機率 $ \pi_i $ 代理選擇城市 $ i $ 給出為
$$ \pi_i = \frac{\left( {W_{i}Q_{i}/P_{i}^\beta}\right)^\theta}{\sum_j \left({W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta} \right)^\theta }, $$
使用勞動力規模是外生給定城市勞動力規模的 $ i $ 一定是
$$ L_i = \pi_i L = \frac{\left( {W_{i}Q_{i}/P_{i}^\beta}\right)^\theta}{\sum_j \left({W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta} \right)^\theta } L \Leftrightarrow \[8pt] (\star) \ \ \frac{P_i^\beta L_i^{1/\theta}}{Q_i} \underbrace{\left( \frac{\sum_j \left({W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta} \right)^\theta }{L} \right)^{1/\theta} }_{\text{utility per worker}} = W_i, $$
其中每個工人的效用只是一個比例常數，獨立於 $ i $ 正在考慮的城市的指數。
我們如何才能看到每個工人的效用？代理選擇提供最大效用的替代方案。定義最大效用
$$ \hat U_i = \max_j {U_{j}}, $$
然後 $ Pr(\hat U_i \leq r) = Pr(\text{all} \ U_j \leq r) = \prod_j Pr(U_j \leq r) $ 使用獨立性。然而
$$ \prod_j Pr(U_j \leq r) = \prod_j \exp(-A_j^\theta r^{-\theta}) = \exp\left(-r^{-\theta} \cdot \sum_j A_j^\theta\right), $$ 這被視為 Frechet 分佈並定義 $ s:=\left(\sum_j A_j^\theta\right)^{1/\theta} $ 我們可以重寫它得到
$$ \prod_j Pr(U_j \leq r) = \exp\left(-r^{-\theta} \cdot s^\theta\right) = \exp\left(-(r/s)^{-\theta}\right), $$
根據維基的期望是
$$ \mathbb E[\hat U] = sk(\theta) = \left(\sum_j A_j^\theta\right)^{1/\theta}k(\theta) = \left(\sum_j \left( W_{j}Q_{j}/P_{j}^\beta\right)^\theta\right)^{1/\theta}k(\theta), $$
如果您將其插入方程式 $ (\star) $ 每個工人都有效用，除了工人是 $ L^{1/\theta} $ - 自從 $ L $ 是外生變數，這是沒有結果的。