重疊世代模型：Social Planner 解決方案
假設我們有一個 OVG 模型，其中有 2 個重疊的世代，young和olds，agents 是兩個時期的生活。效用函式是對數函式，生產函式是 Cobb-Douglas。
我必須證明，社會計劃者的解決方案與市場均衡不一致。社會規劃師解決： $$ \max \ln(c_t^y)+\beta \ln(c_{t}^o) $$ $$ s.t. $$ $$ c_t^y+\frac{c_t^o}{1+n}+k_{t+1}(1+n)-k_t=f(k_t) $$ 如果單位以人均表示，並且 $ n $ 代表人口增長率。社會計劃者的 FOC 是 $$ \frac{c_{t}^o}{c_t^y}=\beta(1+n) $$ 我們知道，在穩定狀態下，消費水平實際上是恆定的，即 $ c_t^o=c^o $ 和 $ c^y_t=c^y $ . 我沒有得到的是我是否應該在約束上替換它以獲得 SS 的值，或者我是否需要將 FOC 與 $ k $ . 我有點迷茫，因為我已經解決了市場經濟的問題，但我很難弄清楚如何進行。任何提示將不勝感激。
從編寫拉格朗日算術開始（聽起來您已經完成了）：
$$ L=\sum_{t=0}^{\infty} {\beta^t(\ln C_t^y + \ln C_t^o) + \lambda_t (C_t^y +\frac{C_t^o}{1+n} +k_{t+1}(n+1)-k_t-f(k_t))}. $$
一階條件由下式給出 $$ \frac{\partial L}{\partial C_t^y} = \frac{\beta^t}{C_t^y} +\lambda_t = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial C_t^o} = \frac{\beta^t}{C_t^o} +\frac{\lambda_t}{1+n} = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial k_{t+1}} = \lambda_{t-1}(1+n) - \lambda_t(1 + f’(k_t)) = 0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial \lambda_{t}} = C_t^y +\frac{C_t^o}{1+n} +k_{t+1}(n+1)-k_t-f(k_t)=0. $$
首先註意前兩個方程給了我們 $$ \frac{C_t^y}{C_t^o} = 1+n. $$ 另請注意，第一個等式意味著 $ \lambda_t = -\frac{\beta^t}{C_t^y} $ . 將其代入我們的第三個等式給出 $$ \frac{\beta^{t+1}}{C_{t+1}^y}(1+n) = \frac{\beta^{t}}{C_{t}^y}(1+n)(1 + f’(k_t) $$ 或等效地 $$ \frac{\beta C_t^n}{C_{t+1}^y} = (1 + f’(k_t)). $$
最後，我們可以用三個方程寫出我們的四方程系統，去掉 $ \lambda $ 從系統： $$ \frac{C_t^y}{C_t^o} = 1+n $$ $$ \frac{\beta C_t^y}{C_{t+1}^y} = (1 + f’(k_t)). $$ $$ C_t^y +\frac{C_t^o}{1+n} +k_{t+1}(n+1)-k_t-f(k_t)=0. $$
刪除時間下標，即應用穩態條件，給出 $$ \frac{C^y}{C^o} = 1+n $$ $$ \beta = (1 + f’(k)). $$ $$ C^y +\frac{C^o}{1+n} +nk-f(k)=0. $$
因此，您將得到一個由三個方程組成的系統，其中包含三個未知數 $ C^y $ , $ C^o $ ， 和 $ k $ . 求解系統以達到穩態解。