簡單新凱恩斯模型中的帕累托效率（最優條件）
我正在尋找一個簡單的新凱恩斯模型中中央計劃者問題的帕累托最優均衡。計劃者的問題是選擇 $ { C_{t}, H_{t}, Y_{t}, \pi_{t}, {h_{t}(j){j=0}^{\infty} }, {y{t}(j){j=0}^{\infty} } }{t=0}^{\infty} $ 最大化$$ U_{0} = E_{0} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t}u(C_{t}, 1-H_{t}) $$
受制於：$$ C_{t} = (1-\frac{\emptyset}{2}\pi_{t}^{2})Y_{t} $$ $$ Y_{t} = \ [\int_{0}^{1}y_{t}^{\frac{\epsilon -1}{\epsilon}}(j);dj ] ^{\frac{\epsilon}{\epsilon-1}} $$ $$ y_{t}(j) = A_{t}h_{t}(j) $$ $$ H_{t} = \int_{0}^{1} h_{t}(j) ; dj $$
這個問題的一階條件意味著對於所有 $ j $ 和 $ t $ :$$ \frac{u_{l}(C_{t}, 1-H_{t})}{u_{c}(C_{t}, 1-H_{t})} = A_{t} $$ $$ y_{t}(j) = Y_{t} $$ $$ h_{t}(j) = H_{t} $$ $$ Y_{t} = A_{t}H_{t} $$ $$ \pi_{t} = 0 $$ $$ C_{t} = Y_{t} $$
為了達到上述含義，我嘗試設置以下拉格朗日： $$ L_{0}(j) = E_{0} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t} u(C_{t}, 1-H_{t}) + \lambda_{t}[(1-\frac{\emptyset}{2}\pi_{t}^{2})Y_{t} -C_{t}] + \mu_{t}[\ [\int_{0}^{1}y_{t}^{\frac{\epsilon -1}{\epsilon}}(j);dj ] ^{\frac{\epsilon}{\epsilon-1}} - Y_{t}] + \omega_{t}[A_{t}h_{t}(j)- y_{t}(j)] + \alpha_{t}[H_{t} - \int_{0}^{1} h_{t}(j) ; dj ] $$
獲取 FOC：
$$ \frac{\partial L_{0}(j)}{\partial C_{t}}: u_{c}(C_{t}, 1 - H_{t}) - \lambda_{t} = 0 $$ $$ \frac{\partial L_{0}(j)}{\partial H_{t}}: -u_{H}(C_{t}, 1 - H_{t}) + \alpha_{t} = 0 $$ $$ \frac{\partial L_{0}(j)}{\partial Y_{t}}: \lambda_{t}(1 - \frac{\emptyset}{2}\pi_{t}^{2}) - \mu_{t} = 0 $$ $$ \frac{\partial L_{0}(j)}{\partial \pi_{t}}: -\emptyset \pi_{t} Y_{t} \lambda_{t} = 0 $$ $$ \frac{\partial L_{0}(j)}{\partial h_{t}(j)}: \omega_{t}A_{t} - \alpha_{t} = 0 $$ $$ \frac{\partial L_{0}(j)}{\partial y_{t}(j)}: \mu_{t}[\int_{0}^{1} y_{t}^{\frac{\epsilon -1}{\epsilon}}(j)]^{\frac{1}{\epsilon -1}} y_{t}^{\frac{-1}{\epsilon}}(j) - \omega_{t} = 0 $$
現在，我不知道我做錯了什麼或如何理解上述含義。任何幫助將不勝感激！
拉格朗日也是乘數的函式 $ (\lambda_t, \mu_t, \omega_t, \alpha_t) $ 所以你錯過了他們的 FOC（這些會給你作為 FOC 的約束，所以如果你已經考慮到它們，請省略我的評論）。還， $ -u_{H}=u_l $ 自從 $ l=1-H $ （我會重寫第二個 FOC，就 $ u_l $ 為了構造第一個具有 MRS=MRT 的“目標”方程。最後，有幾個有用的事實應該對您有所幫助。首先，請注意，在您的第 4 個 FOC 中，您的乘積為零，因此至少有一個元素等於零。試著說服自己，唯一的可能性（這樣你就不會與其他 FOC 發生矛盾）是為了 $ \pi_t=0 $ 根據倒數第二個目標方程的要求，反過來意味著 $ C_t=Y_t $ （從你的第一個約束）。其次，使用第二個約束，您可以將最後一個 FOC 中的積分替換為 $ Y_t $ .
這應該有助於進一步將您應該擁有的 10 個 FOC 簡化為您想要的 6 個目標方程。