我目前正在努力證明Ramsey-Cass-Koopmans 模型中的鞍路徑穩定性。根據 D. Acemoglu 的*《現代經濟增長導論》（第 7 章和第 8 章）和Blume 和 Simon的《經濟學家數學》 （第 25.4 章），給出了以下內容：*

考慮與平衡條件相對應的基線新古典（Ramsey）增長模型的邊值問題

$ \dot k(t) =f(k(t))-(\delta+n)k(t)-c(t) \ \dot c(t) =\frac{c(t)}{\epsilon_u(c(t))}(f’(k(t))-\delta-\rho) $

受制於 $ k(t) , ~ c(t) ≥ 0 $ , 初始值條件 $ k(0) = k_0 > 0 $ 和橫向條件

$ \lim_{t \rightarrow \infty} \big[k(t)e^{-\int_0^t(f’(k(s))-\delta-n)ds}\big]=0 $

在哪裡

$ \epsilon_u(c(t)) \equiv - \frac{u’’(c(t))~c(t)}{u’(c(t))} $

是消費邊際效用的彈性，並且 $ ρ > 0 $ 和 $ 0 < δ < 1. $ 我們假設生產函式 $ f (·) $ 滿足 $ f (0) = 0,~ f ′(k) > 0,~ f ′′(k) < 0 $ 對全部 $ k > 0 $ （因此它的特點是資本邊際收益遞減），以及兩個稻田條件， $ \lim_{k→0} f ′(k) = ∞ $ 和 $ \lim_{k→∞} f ′(k) = 0 $ .

這是我的嘗試：

首先，我將兩個微分方程線性化 $ \dot c(t) $ 和 $ \dot k(t) $ . 然後，我圍繞穩態進行一階泰勒展開 $ (k^∗, c^∗) $ 這使

$ \begin{bmatrix} \dot k(t)\ ~ \ \dot c(t) \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} \frac{\partial \dot k(t)}{\partial k(t)} \big\rvert_{k(t) = k^,c(t)=c^} & \frac{\partial \dot k(t)}{\partial c(t)} \big\rvert_{k(t) = k^,c(t)=c^} \ ~ \ \frac{\partial \dot c(t)}{\partial k(t)}\big\rvert_{k(t) = k^,c(t)=c^} & \frac{\partial \dot c(t)}{\partial c(t)} \big\rvert_{k(t) = k^,c(t)=c^} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k(t)- k^* \ ~ \ c(t)- c^* \end{bmatrix} \ ~ \

\begin{bmatrix} f’(k^) - (\delta + n) & - 1 \ ~ \ \frac{c^}{\epsilon_u(c^)} f’’(k^) & \frac{1}{\epsilon_u(c^)} \big(f’(k^)-\delta - \rho \big) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k(t)- k^* \ ~ \ c(t)- c^* \end{bmatrix} \ ~ \ $

既然我們知道

$ \dot k(t)=0 \implies c^=f(k^)-(\delta+n)k^* \ \dot c(t)=0 \implies f’(k^*)=\delta + \rho $

線性化模型簡化為

$ \begin{bmatrix} \dot k(t)\ ~ \ \dot c(t) \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} \rho - n & - 1 \ ~ \ \frac{c^}{\epsilon_u(c^)} f’’(k^) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k(t)- k^ \ ~ \ c(t)- c^* \end{bmatrix} \ ~ \ $

在哪裡 $ c^f’’(k^)/\epsilon_u(c^*) < 0 $ 和 $ \rho - n > 0 $ .

然後我定義

$ A \equiv \begin{bmatrix} \rho - n & - 1 \ ~ \ \frac{c^}{\epsilon_u(c^)} f’’(k^*) & 0 \end{bmatrix} $

因此，我們得到

$ \begin{equation} det(A) =\frac{c^}{\epsilon_u(c^)}f’’(k^*) < 0 \ tr(A) = \rho - n > 0 \end{equation} $

則特徵多項式為

$ \begin{equation} det(A-\lambda I_2) = 0 \iff \lambda^2 - tr(A)\lambda + det(A) \overset{!}{=} 0 \iff \lambda^2 - (\rho-n)\lambda + \frac{c^f’’(k^)}{\epsilon_u(c^*)} \overset{!}{=} 0 \end{equation} $

這就是我已經走了多遠。下一步是計算特徵值 $ λ_{1,2} $ 和特徵向量 $ V_1,~V_2 $ . 我們被告知，如果 $ tr(A) = λ_1 + λ_2 > 0 $ ，則係統不穩定。線性化系統的一般解應該是這樣的

$ \begin{equation} \begin{bmatrix} k(t)\c(t) \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} k^\ c^ \end{bmatrix}

• \gamma_1 ~ e^{\lambda_1 t} ~V_1 + \gamma_2 ~ e^{\lambda_2 t} ~ V_2 \end{equation} $

（參見 Simon，Blume），其中 $ \lambda_1,~ \lambda_2 $ 是根的係數 $ λ_1,~ λ_2 $ . 我們還被告知以下內容：

“回想一下，目標是求解穩態附近的兩個微分方程組。如果 $ A $ 絕對值小於 1，系統是（全域）漸近穩定的。另一方面，如果所有的特徵值 $ A $ 如果絕對值大於 1，則係統可以被認為是“完全不穩定的”，因為所有軌跡在從穩態本身以外的初始位置開始時都會爆炸。有趣的情況發生在像這裡一樣，一些特徵值 $ A $ 絕對值大於 1，有些小於 1。為了使系統是鞍路徑穩定的，我們需要 $ |λ_1| > 1 $ 和 $ |λ_2| < 1 $ . 這意味著存在解軌跡，從任意接近穩態開始，隨著時間的推移任意遠離穩態。然而，存在一個區域，使得在該區域中開始的任何軌跡（或在某個時間點在該區域中找到）都會收斂到穩態。在這種情況下，軌跡保持在該區域內，同時收斂到穩態。

的情況下 $ |λ_2| < 1 $ ，鞍路徑將對應於特徵向量 $ V_2 $ 有關聯 $ λ_2 $ ，允許我們忽略與相關的特徵向量對應的不穩定路徑 $ λ_1 $ . 這意味著係數 $ γ_1 $ 的爆炸性（不穩定）根，即 $ |λ_1| > 1 $ , 必須設置為 $ γ_1 = 0 $ 。”

為了完成證明，我需要找到（簡化的）線性化系統的解決方案。

你得到了二次方程 $$ \lambda^2 - (\rho - n)\lambda + \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{\varepsilon} $$ 判別式由下式給出： $$ \Delta = (\rho - n)^2 - 4 \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{\varepsilon} $$ 所以這兩個根是： $$ \lambda_1, \lambda_2 = \frac{(\rho - n) \pm \sqrt{(\rho - n)^2 - 4 \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{2}}}{2} $$ 作為 $ f’’(k) < 0 $ 和 $ \rho > n $ 我們看到兩個根都是實數，其中一個大於 $ 0 $ 並且一小於零，所以我們有一個鞍形路徑。

特徵向量 $ V_1 $ 和 $ V_2 $ 滿足 $ A V_1 = \lambda_1 V_1 $ 和 $ A V_2 = \lambda_2 V_2 $ ，所以對於第一個特徵向量： $$ \begin{bmatrix} \rho - n & -1 \ \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{\varepsilon} & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\ 1\end{bmatrix} = \lambda_1 \begin{bmatrix} v_1\ 1\end{bmatrix} $$ 在這裡，我們將第二個分量正規化為 1，我們可以這樣做，因為特徵向量僅按比例給出。所以： $$ \begin{align*} &(\rho - n) v_1 - 1 = \frac{\left[(\rho - n) + \sqrt{(\rho - n)^2 - 4 \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{2}}\right]}{2}v_1\ \leftrightarrow &v_1 = \frac{2}{(\rho - n) - \sqrt{(\rho - n)^2) - 4 \frac{c^\ast f’‘k)}{\varepsilon}}} \end{align*} $$ 等效地，我們也可以使用第二個條件： $$ v_1 =\frac{\varepsilon}{c^\ast f’’(k^\ast)}\frac{\left[(\rho - n) + \sqrt{(\rho - n)^2 - 4 \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{2}}\right]}{2} $$ 很容易看出這兩個是一樣的。

對於第二個特徵向量，我們有： $$ \begin{bmatrix} \rho - n & -1 \ \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{\varepsilon} & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_2\ 1\end{bmatrix} = \lambda_2 \begin{bmatrix} v_2\ 1\end{bmatrix} $$ 所以： $$ \begin{align*} &(\rho - n) v_2 - 1 = \frac{\left[(\rho - n) - \sqrt{(\rho - n)^2 - 4 \frac{c^\ast f’’(k^\ast)}{2}}\right]}{2}v_2\ \leftrightarrow &v_2 = \frac{2}{(\rho - n) + \sqrt{(\rho - n)^2) - 4 \frac{c^\ast f’‘k)}{\varepsilon}}} \end{align*} $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/50042