證明偏好是線性的

鑑於以下兩個條件：

$ x\succ y $ 暗示 $ x+a\succsim y+a $ ,

和，

$ x\prec y $ 暗示 $ x+a\precsim y+a $

我們想證明 $ \succsim $ 是線性偏好。

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線性偏好的定義之一是： $ x\succsim y \Leftrightarrow x+a\succsim y+a $

所以我正在嘗試這樣做：

自從 $ x\succsim y $ 意思是 $ x\succ y $ 或者 $ x\sim y $

我們已經知道 $ x\succ y $ 暗示 $ x+a\succsim y+a $ ,

剩下的就是證明 $ x\sim y $ 也意味著 $ x+a\succsim y+a $ .

你無法證明這一點。這是錯誤的。

定義 $ u(x)=\min{{x,0}} $ . 讓 $ \succsim $ 是表示的偏好關係 $ u $ . 這種偏好關係滿足 $ x\succ y \Longrightarrow x+a\succsim y+a $ 對全部 $ x,y,a\in\mathbb R $ . 但是讓 $ x=0 $ , $ y=1 $ ， 和 $ a=-1 $ . 然後 $ x\sim y $ ， 但 $ y+a=0\succ -1=x+a $ ， 因此 $ x+a\not\succsim y+a $ 和 $ \succsim $ 不是線性的。

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/34541