證明效用是凹的
考慮一個解決以下問題的家庭： $$ v(k,r,w)=\underset{c,l\in B{(k,r,ω)}}{\ {max}} {u(c,l)} $$
在哪裡 $ u : R_+^2 \rightarrow R $ 是一個嚴格凹的，兩次連續可微的，嚴格遞增的函式，有兩個參數：消耗， $ c $ , 和休閒, $ l $ . 家庭在選擇時必須遵守的約束條件 $ c, l $ 總結為 $ B $ : $$ B(k, r, w) = {{c, l : 0 ≤ c ≤ rk + w(1 − l), 0 ≤ l ≤ 1}} $$
這裡， $ k, r, w > 0 $ 是家庭無法控制的數字。證明 $ v $ 是凹進去的 $ k $ 並且它的導數 $ v $ 關於 $ k $ 存在於’內部 $ k $ ‘。顯示導數的公式 $ v $ .
我想解決這個問題的方法是遵循關於可微性的 Benveniste & Scheinkman 定理 $ ω : D → R $ 在附近定義 $ D $ 的 $ x_0 $ ， IE $ D ⊂ X $ 和 $ x_0 ∈ int(D) $ 這樣： $ ω(x) ≤ v(x) $ 和 $ ω(x_0) = v(x_0) $ .
和 $ ω(.) $ 是凹的和可微的，那麼 $ v(.) $ 可微分於 $ x_0 $ 和 $ v’(x_0) =ω’(x_0) $ .
我猜我們必須用 c 替換 $ rk + w(1 − l) $ 在效用函式中，但我對休閒有點困惑。因為在那之後，我認為我們是否應該得到包絡定理？
分享我的答案，如果我錯了，請糾正我。 $ u(c,l)=u(rk+w(1-l), l) $
$ U $ 是嚴格凹和可微的。讓 $ max $ 你達到了 $ (c^, l^) $ IE $ (k^, l^) $ .
然後 $ v(k^)=u(k^) $ 和 $ u(k) ≤ v(k) $
然後由定理 4.10 (Benveniste & Scheinkman)， $ v $ 可微分於 $ k^* $ .
$ V_k^=U_k(rk^ + w(1-l^, l) = U_c(rk^* + w(1-l^, l) $