索洛增長模型——稻田條件意味著穩態資本的儲蓄率正在增加的分析證明
讓我們以通用的 Harrod 中性（勞動增廣）生產函式為例 $ f(k) $ ; 所有字母都表示它們通常的增長率。在具有 Inada 假設的正常 Solow 增長模型中，這是其比較靜態的結果，因為 $ sf(k^)=(n+\delta+g)k^ $ 是穩態條件，如果我們假設 $ k^* $ 是儲蓄率的函式 $ \frac{\partial k^*}{\partial s}>0 $ . 完全差異化讓我們知道
$$ \frac{\partial k^}{\partial s} = \frac{f(k^)}{(n+g+\delta)-sf’(k^)}, $$ 在我的課堂上，教授聲稱最後一個表達式是嚴格肯定的，因為分子是（很好）而分母也是。基本上，歸結為以下事實 $ \frac{n+g+\delta}{s} > f’(k^) $ ，並且這是稻田假設所暗示的事實。 我試圖弄亂關於導數在 0（無窮大）和 k 趨於無窮大（零）處的限制行為的陳述；一切都無濟於事。如果有人可以提供一些提示或解釋或證明這一事實，我將不勝感激。這不是針對作業或任何類似問題提出的問題，只是個人興趣（具有一些分析背景）。
我們想證明
$$ \frac{n+g+\delta}{s} > f’(k^) $$ 用表達式中的等價物替換左側 $ sf(k^)=(n+\delta+g)k^* $ ，你得到：
$$ \frac{f(k^)}{k^} > f’(k^*) $$ 科布-道格拉斯案
不失一般性，假設
$$ f(k^) = {k^}^{\alpha} $$ 那麼，上面的不等式就是：
$$ {k^}^{\alpha-1} > \alpha{k^}^{\alpha-1} $$ 這是：
$$ 1> \alpha $$ 該條件表示資本邊際回報遞減的生產函式，這是 Inada 條件成立所必需的。
一般情況
凹函式具有以下性質，對於任何 $ x $ 和 $ y $ 在域中：
$$ f(y) \leq f(x) + f’(x)(y-x) $$ 重新排列，這是：
$$ \frac{f(y)- f(x)}{y-x} \leq f’(x) \hspace{1cm}, \text{for } y>x $$ 這是，導數 $ f(x) $ 在點 $ x $ 不小於之間段的斜率 $ x $ 和 $ y $ . 對於嚴格凹函式的情況（Inada 條件成立所需要的），不等式是嚴格的 ( $ < $ )，除了在微不足道的情況下 $ x = y $ .
如需進一步確認，請在以下情況下應用上述內容 $ y=0 $ 和 $ x=k^* $ （注意這裡 $ y<x $ 所以上述不等式的符號反轉）。自從 $ f(0)=0 $ ， 你得到：
$$ \frac{f(k^)}{k^} > f’(k^*) $$ 這就是我們想要展示的。