索洛模型、時間和穩態
假設我們有一個 Solow 模型：
$$ Y(t)=C(t)+I(t) $$ $$ I(t)=sY(t) $$ $$ \dot K=I(t)-δK(t) $$ 對於給定的 Cobb-Douglas：
$$ Y(t)=Z(t)K^aL^{1-a} $$ $$ y(t)=Y(t)/L(t) $$ $$ k(t)=K(t)/L(t) $$ $$ y=Zk^a $$ 我們也知道這些：
$$ L=L(t), \dot L/L=n $$ $$ Z=Z(t), \dot Z/Z=g $$ 因此我們有：
$$ L(t)=L(0)e^{nt} $$ $$ Z(t)=Z(0)e^{gt} $$ 我們到了這一點：
$$ \dot k=sZk^a-(n+δ)k $$ 在穩定狀態：
$$ k=k^* $$ $$ k^*=\left(\frac{sZ}{n+δ}\right)^{1/(1-a)} $$ 問題與 Z 中的時間維度有關。如果我們將 Z 替換為上面找到的內容，則時間進入最終表達式，但我不知道該怎麼做。
$$ k^*=\left[\frac{sZ(0)e^{gt}}{n+δ}\right]^{1/(1-a)} $$ 肯定有這個新手正在混淆的東西。我認為在穩定狀態下，每個工人的資本保持不變。
在技術進步的模型中，每名有效工人的資本保持不變，這意味著每名工人的資本以外生的技術進步率增長。參見 Barro 和 Martin 的書，第 1 章。
克什蒂茲是對的。如果您將每個工人的有效資本定義為 $ \hat k(t) \equiv \dfrac{K(t)}{L(t)Z(t)} $ ，動力學方程 $ \hat k(t) $ 是：
$$ \dot {\hat k} (t) = s {\hat k}^a - (n+g+\delta){\hat k} $$ 從哪裡可以得到穩定狀態下每個工人的不變有效資本：
$$ {\hat k} = \left(\frac{s}{n+g+\delta}\right)^{1/(1-a)} $$ 直覺地說，每個時期資本的邊際產量都在增加，因為外生擴張 $ Z(t) $ . 在以人均資本為橫軸的標準索洛圖中，這種外生技術變化意味著 $ y $ 和 $ sy $ 曲線。這種更高的資本回報率會導致更多的投資和人均資本的擴張。由於每個時期都會發生技術變化，因此這個過程會永遠持續下去。