使用替代算法求解 King-Watson 形式的 LRE 模型
我有一個 King-Watson 形式的線性理性期望模型：
AE_{t}y{t+1} = By_{t} + C_{0}x_{t} + C_{1}x{t+1} (1)隨著駕駛過程
x_{t} = Q \delta_{t} (2) delta_{t} = \rho \delta_{t-1} + G \espilson_{t} (3)我有一個相當大的系統，並希望使用與 King-Watson 不同的算法來解決它，例如 Anderson-Moore 算法（但我對任何快速算法都完全開放）。但是，到目前為止，我未能在 Anderson-Moore 中實施 KW。關於(i) 如何使用 Anderson-Moore 算法或**(ii) 可以使用的不同算法**來解決問題的任何想法？
請注意，我在 (1) 中的方程組大約有 1000 行。
這是一個用於參數化的玩具範例
A = [1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,-1,-1;0,0,0,0]; B = [0,0,1,0;0,0,0,1;0,0,-1.1,0;0,-0.7,0,1]; C = [0,0;0,0;4,1;3,-2]; Q = [1,0;0,1]; RHO= [0.9,0.1;0.05,0.2]; G = [1,0;0,1];這應該產生
\Pi = [1,0,0,0; 0,1,0,0;0,1.225, -21.0857, 3.15714; 0, 0.7, -3, 2]; M = [0,1.225, -21.0857, 3.15714; 0, 0.7, -3, 2; 0,0,0.9,0.1; 0,0,0.05,0.2];
這兩種方法對線性理性預期問題的說明略有不同，但可以調和它們產生的解決方案。除了方程系統規範的差異之外，KW 使用“預定變數”概念，而 AM 沒有。
King and Watson (KW) 解決了以下形式的模型
$$ A E_t y_{t+1} = B y_t + C_0E_t x_t +C_1 x_{t+1}\ x_t=Q \delta_t +G \epsilon_t\ \delta_t=\rho \delta_{t-1}\ y_t= \begin{bmatrix} \Lambda_t\k_t \end{bmatrix} $$
這 $ k_t $ 是預先確定的變數。
該算法產生以下形式的解決方案 $$ y_t=\Pi s_t\ s_t=M s_{t-1} + \bar{G} \epsilon_t\ s_t= \begin{bmatrix} k_t\ \delta_t \end{bmatrix} $$
Anderson Moore (AM) 將問題描述為
$$ H_{-1} w_{t-1} + H_0 w_t + H_{+1} E_t{w_{t+1}} = \psi_{\epsilon} \epsilon_t + \psi_c $$
並產生形式的解決方案
$$ w_t=R w_{t-1}+ \phi \psi_\epsilon \epsilon_t + (I-F)^{-1}\phi\psi_c $$
在哪裡 $$ \phi=(H_0+H_{+1}R)^{-1},, \text{and} ,, F=-\phi H_{+1} $$
在 AM 設置中， $ w_{t-1} $ 以數據形式給出，不受 $ \epsilon_t $ 或目前或未來的價值 $ w_{t+i}\in, {w_t,w_{t+1},\ldots} $ . 在 KW 中，時間 t 的“預定”變數僅取決於已經實現的衝擊。所以 $ \epsilon_t $ 只影響未來 $ k_{t+i} \in {k_{t+1},k_{t+2},\ldots} $ 因此，為了平方 AM 和 KW，一些模型變數的年代和它們的時間下標會有所不同。
放
$$ w_t= \begin{bmatrix} \Lambda_{t}\ k_{t+1}\x_t\ \delta_t \end{bmatrix} $$
我們需要對 KW 進行分區 $ A= \begin{bmatrix} A_1&A_2 \end{bmatrix} $ 和 $ B=\begin{bmatrix} B_1&B_2 \end{bmatrix} $ 矩陣來適應這些差異。
建構 AMA $ H $ 作為
$$ H_{-1}=\begin{bmatrix} 0&-B_1&0&0 \ 0&0&0&-Q\ 0&0&0&-\rho \end{bmatrix}\ H_{0}=\begin{bmatrix} -B_2&A_1&-C_0&0 \ 0&0&I&0\ 0&0&0&I \end{bmatrix}\ H_{+1}=\begin{bmatrix} A_2&0&-C_1&0 \ 0&0&0&0\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} $$和 $$ \psi_c=0 ,, \psi_\epsilon= \begin{bmatrix} 0\ 0\G\0 \end{bmatrix} $$
然後，我們會發現 $$ R= \begin{bmatrix} 0&M_{\Lambda,k}&0&M_{\Lambda,\delta}\ 0&M_{k,k}&0&M_{k,\delta}\ 0&0&0&M_{x,\delta}\ 0&0&0&M_{\delta,\delta}\ \end{bmatrix} $$
所以對於 KW $$ M= \begin{bmatrix} M_{k,k}&M_{k,\delta}\ 0&M_{\delta,\delta}\ \end{bmatrix} $$
$$ \phi \psi_\epsilon= \begin{bmatrix} \bar{\bar{G}}\ \bar{G} \end{bmatrix} $$
KW 解決方案 $ \Lambda_t $ , $ \Pi_\Lambda $ 可以通過將 R 的前幾行表示為 R 的後幾行的線性組合來找到。
$$ \begin{bmatrix} M_{\Lambda,k}&M_{\Lambda,\delta} \end{bmatrix}= \Pi_\Lambda \begin{bmatrix} M_{k,k}&M_{k,\delta}\ \end{bmatrix} $$
另見加里·安德森。求解線性理性預期模型：賽馬。計算經濟學，31：95-113，2008 年 3 月。