隨機AK模型推導
考慮以下版本的隨機 Ak 模型，寫成貝爾曼方程： $$ v(A,k)=max\ log(c)+\beta E[v(A’,k’)|A] $$ $$ s.t\ k’+c\leq Ak $$和非消極性。 $ A $ 是一個平穩的一階馬爾可夫過程。 $ E[\cdot|A] $ 表示的期望 · 有條件的 $ A $ . 我們假設 $ \beta\in(0, 1) $ .
現在我們還可以證明價值函式 $ v $ 可以表示為$$ v(A,k)=\frac{log(k)}{1-\beta}+v(A,1). $$
如果我們表示 $ E[v(A’,1)|A] $ 作為 $ D(A) $ ，它是一個常數（即只是模型的外生參數和隨機過程A的實現的函式，而不是內生變數的函式）。使用這個和新方程代入貝爾曼方程中的最大化問題。我們應該得到一個簡單的最大化問題 $ c $ 和 $ k $ .
以及給出的解決方案是什麼$$ v(A,k)=max\ log(c)+\frac{\beta}{1-\beta}log(k’)+\beta D(A). $$
有人可以展示這個推導背後的步驟嗎
我想你可以像上面提到的那樣直接替換它嗎？
$$ v(A,k) = \max log(c) + \beta E[v(A’,k’)|A] $$
應用價值函式表達式（注意週期變化）： $ v(A’,k’) = \frac{log(k’)}{1-\beta} + v(A’,1) $
替代： $$ v(A,k) = \max log(c) + \beta E\left[\frac{log(k’)}{1-\beta} + v(A’,1)|A\right] $$
按線性度： $$ v(A,k) = \max log(c) + \beta E\left[\frac{log(k’)}{1-\beta}|A\right] + E\left[v(A’,1)|A\right] $$
自從 $ E\left[v(A’,1)|A\right] = D(A) $ : $$ v(A,k) = \max log(c) + \beta \frac{log(k’)}{1-\beta} + \beta D(A) $$