典型的增長模型社會規劃問題
考慮以下社會計劃者的問題，揮動關於偏好、技術、禀賦和非彈性勞動力供給的通常假設：
$ V(k_o^*)= max_{{c_t,k_{t+1}}{t=0}^{\infty}}\quad \sum\limits{t=0}^\infty \beta^t U(c_t) $
英石 $ \quad c_t+k_{t+1}=f(k_t)+(1-\delta)k_t $ , $ c_t,k_{t+1}\geq0, k_o=k_o^* $
$ \textbf{My Question} $ :
(Q1) 以下是對發生的事情的正確描述嗎？ $ t=0,1 $ ?
(a) 經濟始於給定的偏好、技術和禀賦 $ k_o^* $ .
(b) 計劃者選擇投入生產的數量，並留作未折舊資本留到下一期。換句話說：
(i) 一小部分 $ k_o^* $ 致力於技術 $ f(\cdot) $ .
(ii) 剩下的只是簡單地結轉到下一個期間，並處以折舊的罰款。
(c) 仍在 $ t=0 $ 和（b）-（i），該技術產生 $ y_t $ .
(d) 消費者選擇消費和投資的數量 $ y_t $ 作為 $ c_t+i_t=y_t $
(e) 在 $ t=1 $ ，明天的資本存量定義為， $ k_1=(1-\delta)k_o^*+i_t $ , 你從初始股本中剩下多少要結轉 $ t=1 $ 加上你決定從生產中省略多少作為投資。
(Q2) 在社會計劃者問題中，我們有控制向量作為一個序列 $ c_t $ 和 $ k_{t+1} $ . 這是兩個不同的控制向量，因為序列 $ {c_t}{t=0}^\infty $ 要求在您從同一時期的生產中獲得什麼之後做出決定，但是決定明天擁有多少股本還涉及您今天將留下多少股本留給明天到投資決策。例如，如果由於某種原因，資本存量是易腐爛的，這 $ \delta=1 $ ，我們的選擇變數將只有 $ c_t $ 作為 $ c_t $ 決定了水平 $ i_t $ ，這反過來又決定了水平 $ k{t+1} $ ， 正確的？是 $ k_{t+1} $ 不是控制變數？
Q1：您的要點（b）不是我們通常如何解釋資本，通常不假設 $ k_0 $ 分為 $ k_0^p $ ， 和 $ k_0^s $ 我們用來生產的資本和我們為下一個時期儲存的資本。相反，我們假設所有資本都用於生產，但將其用於生產並不會刪除它，它只會貶值它。例如，如果您使用您的機器生產披薩，這並不意味著它們已經過時，無法在下一個時期使用。
如果您願意，您可以在模型中添加未使用的資本不會貶值，但這是一個簡單的練習，可以證明在非常一般的條件下，讓資本未使用永遠不會是最優的。
所以我不同意你在（e）中的解釋，通常 $ k_1=(1-\delta)k_0+i_0 $ .
Q2：這個問題不是針對你提出的動態模型，但我認為無限序列正在擾亂你的直覺。
考慮這個簡單的例子。如果我說您可以選擇購買巧克力（價格為2美元）或奶酪（價格為 4美元），但您只有10美元（對不起，這是艱難時期：P），很明顯如果你要把所有的錢都花在這兩種商品上，那麼在選擇要買多少巧克力時，立即確定你要買多少奶酪。然而，事實確實如此，這並沒有改變巧克力和奶酪的量都是您的選擇變數的性質。預算約束可能允許您將這個問題重新表述為只選擇購買多少巧克力的問題（因為奶酪是隱含的），但這只是一種簡化原始問題的技術。
這裡也發生了類似的事情。簡而言之，兩個序列 $ {c_t,k_{t+1}}_{t=0}^\infty $ 是控制變數，即使它們之間通過運動定律具有簡單的線性關係。