了解動態優化問題的一階條件下的下標
假設我們有一個簡單的最大化問題，如公式 1.1 here或here中所述。這將我們引向拉格朗日方程 1.3：
$$ \begin{align*}\mathcal{L} &= \sum_{t=1}^\infty \beta^{t-1}\left{u(c_t) + \lambda_t \left[ f(k_t) + (1 - \delta)k_t - c_t - k_{t+1}\right]\right} \ &= \sum_{t=1}^\infty \left[\beta^{t-1} u(c_t) - \beta^{t-1}\lambda_t c_t + \beta^{t-1} \lambda_t f(\mathbf{k_t}) + \beta^{t-1}\lambda_t(1-\delta)\mathbf{k_t} - \beta^{t-1}\lambda_t \mathbf{k_{t+1}}\right] \end{align*} $$ 當我們推導出關於 $ k_{t+1} $ ，即：
$$ \frac{\partial \mathcal{L} (\cdot)}{\partial k_{t+1}} = 0 : \beta \lambda_{t+1} \frac{\partial f(k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} + \beta \lambda_{t+1} (1 - \delta) -\lambda_t=0 $$ 為什麼我們使用下標 $ \phantom{.}{t+1} $ 在 $ \lambda{t+1} $ 為什麼 $ \beta^{t-1} $ 變成 $ \beta $ ? 我無法理解前兩個術語如何與最後一個結合在一起（ $ -\lambda_t $ ).
相關條款（與 $ k $ ) 時期的拉格朗日 $ \phantom{.}_{t+1} $ 是：
$$ \beta^{(t+1)-1} \lambda_{t+1} f(k_{t+1}) + \beta^{(t+1)-1} \lambda_{t+1} k_{t+1} (1 - \delta) - \beta^{(t+1)-1} \lambda_{t+1} k_{(t+1)+1} $$因此，對於總和的這一部分，當我們求導時，我們並不“關心”最後一項 $ k_{t+1} $ . 因此，在此期間，這部分總和是$$ \frac{\partial \mathcal{L}{t+1}}{\partial k{t+1}} = \beta^{t} \lambda_{t+1} \frac{\partial f(k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} + \beta^{t} \lambda_{t+1} (1 - \delta) $$ 相關條款（與 $ k $ ) 時期的拉格朗日 $ \phantom{.}_{t} $ 是：
$$ \beta^{t-1} \lambda_t f({k_t}) + \beta^{t-1}\lambda_t(1-\delta){k_t} - \beta^{t-1}\lambda_t k_{t+1} $$ 所以在這段時間內，總和的一部分是$$ \frac{\partial \mathcal{L}t}{\partial k{t+1}} = - \beta^{t-1}\lambda_t $$ 現在關於的一階條件 $ k_{t+1} $ 應該： $$ \frac{\partial \mathcal{L}{t+1}}{\partial k{t+1}} + \frac{\partial \mathcal{L}t}{\partial k{t+1}} = \beta^{t} \lambda_{t+1} \frac{\partial f(k_{t+1})}{\partial k_{t+1}} + \beta^{t} \lambda_{t+1} (1 - \delta) - \beta^{t-1}\lambda_t = 0 $$對？
在跨期最大化問題中，我們尋求找到控制和狀態變數的最優序列 。正是問題的遞歸性質允許我們考慮一個“典型”時間點，並且每個變數只考慮一個條件。
對於每個這樣的問題，我們需要（仔細）找出一個變數的特定實現出現在多少個不同的時期。為了正確地做到這一點，我們應該區分“絕對”索引和“執行”索引。在問題中出現的拉格朗日公式中，沒有這樣做（通常的做法是不這樣做，但它可能會變得混亂）。
所以我會使用 $ t $ 符號作為絕對索引（達到相同的一階條件），以及執行索引的其他符號，比如
$$ \mathcal{L_t} = \sum_{j=0}^\infty \beta^{j}\left{u(c_{t+j}) + \lambda_{t+j} \left[ f(k_{t+j}) + (1 - \delta)k_{t+j} - c_{t+j} - k_{t+j+1}\right]\right} $$ 注意 $ t $ 不再影響折扣係數 $ \beta $ ，這是因為折扣因子與展望未來有關，由指數表示 $ j $ . 另外，請注意 $ j $ 從零開始，表示第一個週期是 $ t $ 時期。
這樣寫的拉格朗日說：“我們在某個時間點由 $ t $ （可以取零值或任何正值），並且我們正在按索引計數的周期進行展望 $ j $ ”。
對於任何給定的 $ j $ 我們有
$$ \mathcal{L}t =…+ \beta^{j}\Big{u(c{t+j}) + \lambda_{t+j} \left[ f(k_{t+j}) + (1 - \delta)k_{t+j} - c_{t+j} - k_{t+j+1}\right]\Big} + \beta^{j+1}\Big{u(c_{t+j+1}) + \lambda_{t+j+1} \left[ f(k_{t+j+1}) + (1 - \delta)k_{t+j+1} - c_{t+j+1} - k_{t+j+2}\right]\Big} + … $$ 考慮到這一點，我們意識到變數 $ k_{t+j+1} $ 將僅出現在兩個連續的周期中，因此序列中“典型”元素的一階條件 $ {k_{t+j}}{j=0}^{\infty} $ 可以通過僅區分這兩個時期來表示 $ k{t+j+1} $ . 這樣做我們得到
$$ \frac {\partial \mathcal{L}t}{\partial k{t+j+1}} = -\beta^{j} \lambda_{t+j} + \beta^{j+1}\Big{ \lambda_{t+j+1} \left[ f’(k_{t+j+1}) + (1 - \delta)\right]\Big} $$ 取公因子（這將簡化折扣因子）並設置為零
$$ \frac {\partial \mathcal{L}t}{\partial k{t+j+1}} = \beta^{j} \Big[-\lambda_{t+j} + \beta\Big{ \lambda_{t+j+1} \left[ f’(k_{t+j+1}) + (1 - \delta)\right]\Big}\Big] = 0 $$ 為了減輕索引負擔，我們可以將其表示為 $ j=0 $ , 獲得
$$ \frac {\partial \mathcal{L}t}{\partial k{t+1}} = 0 \implies -\lambda_{t} + \beta\Big{ \lambda_{t+1} \left[ f’(k_{t+1}) + (1 - \delta)\right]\Big} = 0 $$