Ramsey-Cass-Koopmans 模型中的效用函式
我們正在我的宏觀課程中研究 Ramsey-Cass-Koopmans 模型（RCK），我已經陷入了模型假設的開始部分。特別是我不太明白為什麼RCK中的ulitity函式稱為CRRA，恆定相對風險厭惡函式以及為什麼相對風險厭惡的係數是theta θ = -Cu"(C)/u ‘(C)，因此獨立於 C。
如果有人能澄清這一點，將不勝感激。
回想一下，在 RCK 模型中，家庭選擇他們的消費和儲蓄以最大化目前和未來的效用（即後代）。然後目標函式由下式給出
$$ U = \int_{0}^{\infty} u[c(t)]e^{nt}e^{-\rho t}dt $$
RCK 模型呈現效用的函式形式
$$ u[c(t)] = \frac{c(t)^{1-\theta}-1}{1 - \theta} $$
請注意，這個函式是遞增和凹的，並且假設 $ \rho > n $ ，它確保生命週期效用不會發散。這是一個非常實用的假設，因為它確保家庭不會擁有無限的終生效用，因此允許一個明確定義的解決方案。
這被稱為恆定跨期替代彈性 (CIES) 或恆定相對風險厭惡 (CRRA) 效用函式（請注意，這種等彈性效用函式是唯一一類具有恆定相對風險厭惡的效用函式）。
您可以通過計算風險厭惡係數來檢查這一點， $ \frac{1}{\sigma} $ ， 在哪裡 $ \sigma $ 是跨期替代彈性（衡量消費者用未來消費替代目前消費的意願），定義為
$$ \sigma = \frac{1}{u’’(c)} \frac{u’(c)}{c} $$
從你獲得的效用函式形式
$$ \sigma = \frac{1}{\theta} $$
因此風險厭惡係數等於 $ \frac{1}{\sigma} = \theta $ ，它是恆定的並且與消耗無關。
請注意，替代的跨期彈性通過分析推導出為風險規避的倒數。這是因為將消費邊際效用隨時間的波動視為一種風險。例如，規避風險的個人會選擇平滑他們的消費路徑以避免此類風險（波動）。